Cartesisches Produkt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Mo 17.07.2006 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
angenommen V ist ein endlich- oder unendlichdimensionaler Vektorraum. Ist dann
das unendliche Produkt W = V x .... x V ein Vektorraum?
Das unendliche Produkt waere dann ja die Menge aller Folgen aus V. Definiert man Addition und Skalarmultiplikation komponentenweise, so muessten doch die Vektorraumaxiome in W gelten. Ich trau der ganzen Sache aber nicht, weil es im unendlichdimensionalen immer wieder mal irgendwelche Fiesheiten gibt, so dass man Resultate von endlichdimensionalen Faellen nicht ohne weiteres uebernehmen kann.
Sollte es eine Falle geben, wie verhaelt es sich mit der Teilmenge W' bei der nur endlich viele Elemente von x = (x1, x2, ....) ungleich dem Nullvektor von V sind?
Vielen Dank und beste Gruesse
bjj
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Grüße!
Nein, da gibt es keine Falle. Genauer gesagt: zu einer beliebigen Indexmenge $I$ sei für jedes $i [mm] \in [/mm] I$ ein $K$-Vektorraum [mm] $V_i$ [/mm] gegeben. Dann ist das direkte Produkt
[mm] $\prod_{i \in I} V_i$
[/mm]
definiert, wie Du es beschrieben hast: man bilde das kartesische Produkt der Mengen und definiere die Addition und Skalarmultiplikation komponentenweise. In der Sprache der Kategorientheorie handelt es sich tatsächlich um das Proukt in der Kategorie der Vektorräume, welches allgemein über eine universelle Eigenschaft gekennzeichnet ist.
Die andere Konstruktion gibt es auch, das nennt sich dann direkte Summe und entspricht dem Koprodukt:
[mm] $\bigoplus_{i \in I} V_i$
[/mm]
Hier nimmt man als Menge wieder das kartesische Produkt, lässt aber nur Elemente mit endlichem Träger, also endlich vielen von 0 verschiedenen Einträgen zu. Das ist immer ein Untervektorraum im Produkt.
Alles klar? 
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Mi 19.07.2006 | | Autor: | BJJ |
Hi,
danke fuer Deine ausfuehrliche Antwot. Es beruhigt mich ungemein, dass in diesem Fall die Unendlichkeit ohne Tuecken war :)
Beste Gruesse
bjj
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