Cauchey Riemannsche DGL < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Mi 28.12.2005 | | Autor: | lumpi |
| Aufgabe | Rechnen sie nach: Mit Polarkoordinaten in der z-Ebene lauten die C-R-DGLn :r [mm] \bruch{ \partial U}{ \partial r}= \bruch{ \partial V}{ \partial \delta} [/mm] und [mm] \bruch{ \partial U}{ \partial \delta}= [/mm] -r [mm] \bruch{ \partial V}{ \partial r}
[/mm]
Dabei soll f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)= [mm] U(r,\delta)+iV(r,\delta) [/mm] sein! |
Hallo da draußen!
Ich finde zu dieser Aufgabe leider keinen Zugang!Was bedeutet zum Beispiel Polarkoordinaten in der z -ebene, da fängt mein Problem schon an? Und was soll ich da jetzt genau ableiten?
gruß und euch allen einen guten rutsch!
Lumpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mi 28.12.2005 | | Autor: | felixf |
> Rechnen sie nach: Mit Polarkoordinaten in der z-Ebene
> lauten die C-R-DGLn :r [mm]\bruch{ \partial U}{ \partial r}= \bruch{ \partial V}{ \partial \delta}[/mm]
> und [mm]\bruch{ \partial U}{ \partial \delta}=[/mm] -r [mm]\bruch{ \partial V}{ \partial r}[/mm]
>
> Dabei soll f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)= [mm]U(r,\delta)+iV(r,\delta)[/mm]
> sein!
> Hallo da draußen!
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> Ich finde zu dieser Aufgabe leider keinen Zugang!Was
> bedeutet zum Beispiel Polarkoordinaten in der z -ebene, da
> fängt mein Problem schon an?
Du kannst ja jede komplexe Zahl $z [mm] \in \IC$ [/mm] in der Form $z = x + i y$ mit $x, y [mm] \in \IR$ [/mm] ausdruecken, also als Vektor in der Ebene [mm] $\IR^2$ [/mm] ansehen. Und in der Ebene kannst du jeden Vektor auch eindeutig durch seine Laenge und den Winkel zu einer vorgegebenen Achse (man nimmt meistens die $x$-Achse, welche den reellen Zahlen in der 'komplexen Zahlenebene' entspricht). Die positive reele Zahl r hat die Laenge r und den Winkel 0, die negative reelle Zahl -r hat die Laenge r und den Winkel [mm] $\pi$ [/mm] (in Bogenmass, entspricht also 180 Grad), und die komplexe Einheit $i = 0 + 1 [mm] \cdot [/mm] i$ hat die Laenge 1 und den Winkel [mm] $\frac{\pi}{2}$, [/mm] also 90 Grad. Kannst du soweit folgen? Und wenn du nun eine komplexe Zahl $z$ hast, welche den Winkel [mm] $\delta$ [/mm] und die Laenge $r [mm] \ge [/mm] 0$ hat, dann ist $z = r [mm] e^{i \delta}$.
[/mm]
> Und was soll ich da jetzt genau ableiten?
Nun, wenn du eine Funktion $f : [mm] \IC \to \IR$ [/mm] hast, kannst du sie als Funktion $f : [mm] \IR^2 \to \IR$ [/mm] auffassen, wobei die erste Komponente des [mm] $\IR^2$ [/mm] der Realteil und die zweite der Imaginaerteil ist. Weiterhin kannst du sie auch als Funktion $f : [mm] \IR_{\ge 0} \times [/mm] [0, [mm] 2\pi] \to \IR$ [/mm] auffassen (oder gleich [mm] $\IR_{\ge 0} \times \IR$ [/mm] oder [mm] $\IR^2$, [/mm] wenn du auch negative Laengen und Winkel ausserhalb $[0, 2 [mm] \pi]$ [/mm] zulassen moechtest): die erste Komponente ist die Laenge und die zweite der Winkel.
Die Funktion $f$, aufgefasst als Funktion in $r, [mm] \delta$ [/mm] (Laenge, Winkel) (diese Auffassung sei mit [mm] $f^{(r,\delta)}$ [/mm] bezeichnet), und die Funktion $f$, aufgefasst als Funktion in $x, y$ (Realteil und Imaginaerteil) (diese Auffassung sei mit [mm] $f^{(x,y)}$ [/mm] bezeichnet), haengen wie folgt zusammen:
Ist $z = x + i y = r [mm] e^{i \delta}$, [/mm] so ist $f(z) = [mm] f^{(x,y)}(x, [/mm] y) = [mm] f^{(r,\delta)}(r, \delta)$. [/mm] Und weiterhin hast du die Beziehung $x = r [mm] \cos \delta$, [/mm] $y = r [mm] \sin \delta$. [/mm] Und damit kannst du jetzt ableiten: [mm] $\frac{\partial f}{\partial r} [/mm] = [mm] \frac{\partial f(r \cos \delta, r \sin \delta)}{\partial r} [/mm] = [mm] \dots$ [/mm] (Kettenregel anwenden) [mm] $\dots [/mm] = $ irgendein Ausdruck, in dem [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}$ [/mm] vorkommt. So. Und fuer diese Ableitungen hast du ja eine Beziehung mit Hilfe der Cauchy-Riemannschen Diff'gleichungen.
LG & HTH und auch dir nen guten Rutsch, Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Do 29.12.2005 | | Autor: | lumpi |
hi!
Wie leite ich den term denn ab? Gibt das dann ne Matrix?Ich hab zumindest eine raus: [mm] \pmat{ cos \delta (x-x0) & -r sin \delta (y-y0) \\sin \delta (x-x0) & r cos \delta (y-y0) }
[/mm]
GRuß Lumpi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Do 29.12.2005 | | Autor: | felixf |
Hi!
> Wie leite ich den term denn ab? Gibt das dann ne Matrix?Ich
> hab zumindest eine raus: [mm]\pmat{ cos \delta (x-x0) & -r sin \delta (y-y0) \\sin \delta (x-x0) & r cos \delta (y-y0) }[/mm]
Welchen Term meinst du denn jetzt?! Und was sind $x0$, $y0$?!
Bei dir ist $U(r, [mm] \delta) [/mm] = u(r [mm] \cos \delta, [/mm] r [mm] \sin \delta)$ [/mm] und genauso fuer $V$, also $U = u [mm] \circ \varphi$ [/mm] und $V = v [mm] \circ \varphi$ [/mm] mit [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \IR^2 \to \IR^2$, [/mm] $(r, [mm] \delta) \mapsto [/mm] (r [mm] \cos \delta, [/mm] r [mm] \sin \delta)$ [/mm] und $u, v : [mm] \IR^2 \to \IR$ [/mm] mit [mm] $\frac{\partial u}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{\partial v}{\partial y}$, $\frac{\partial u}{\partial y} [/mm] = [mm] -\frac{\partial v}{\partial x}$ [/mm] (Cauchy-Riemannsche DGln).
So. Und jetzt rechnest du die Gradienten [mm] $(\frac{\partial U}{\partial r}, \frac{\partial U}{\partial \delta})$ [/mm] und [mm] $(\frac{\partial V}{\partial r}, \frac{\partial V}{\partial \delta})$ [/mm] aus, indem du (nach der Kettenregel) die Jacobi-Matrix von [mm] $\varphi$ [/mm] mit den Gradienten von $u$ und $v$ multiplizierst. Dann kannst du mit den C-R-DGln die Beziehung aus der Aufgabenstellung zeigen.
(Das was du da ausgerechnet hast scheint in die Richtung ``Jacobimatrix von [mm] $\varphi$'' [/mm] zu gehen...)
LG Felix
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