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Forum "Folgen und Reihen" - Cauchy-Folge
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Cauchy-Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:23 Di 29.11.2005
Autor: roXma

Hi!

(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt)

Ich muss folgende Aufgabe lösen:

Sei [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] eine Folge und q [mm] \in \IR [/mm] mit 0<q<1. Ferner sei
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] :  [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_{n+1}| \le q^n [/mm]
Zeige: [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] ist eine Cauchy-Folge.

Ich habe bereits die Definition für eine Cauchy-Folge herausgesucht:
[mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] heisst Cauchy-Folge, falls für alle
[mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] existiert, so dass für alle n,m [mm] \ge n_0 [/mm] gilt:
[mm] |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] <  [mm] \varepsilon. [/mm]

Nun weiss ich jedoch nicht, wie ich beides zusammen bringen soll.
Und enspricht "q" eigentlich dem Epsilon?
Für einen Lösungsansatz wäre ich sehr dankbar!

        
Bezug
Cauchy-Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:48 Mi 30.11.2005
Autor: angela.h.b.


> Hi!
>
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt)
>  
> Ich muss folgende Aufgabe lösen:
>  
> Sei [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Folge und q [mm]\in \IR[/mm] mit 0<q<1.
> Ferner sei
>   [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] :  [mm]|a_n[/mm] - [mm]a_{n+1}| \le q^n[/mm]
>  Zeige:
> [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] ist eine Cauchy-Folge.
>  
> Ich habe bereits die Definition für eine Cauchy-Folge
> herausgesucht:
>  [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] heisst Cauchy-Folge, falls für alle
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein [mm]n_0 \in \IN[/mm] existiert, so dass für alle
> n,m [mm]\ge n_0[/mm] gilt:
>  [mm]|a_n[/mm] - [mm]a_m|[/mm] <  [mm]\varepsilon.[/mm]
>  
> Nun weiss ich jedoch nicht, wie ich beides zusammen bringen
> soll.

Hallo,
mein Tip: wenn m=n+p ist, hast Du
[mm] |a_n-a_m|=|a_n-a_{n+p}|=|a_n-a_{n-1}+a_{n-1}-a_{n-2}+ [/mm] ... [mm] -a_{n+p-1}+a_{n+p-1}-a_{n+p}|. [/mm]

Das mußt Du nun abschätzen.

[mm] q^n [/mm] ist nicht [mm] =\varepsilon, [/mm] aber Du kannst durch geeignete Bedingung an n erreichen, daß [mm] q^n< \varepsilon. [/mm]
Gruß v. Angela

Bezug
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