Cauchy-Folge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:10 Mi 21.01.2004 | | Autor: | AstridW |
Hallo zusammen,
könnt ihr mir vielleicht noch mal helfen?????
Die Aufgabe ist ein bisschen verzwickt, da man die Cauchy-Folge ja irgendwie auf das gleichmäßig stetig aufbauen muss. Auf jeden Fall ist ja bekanntermaßen laut Definition von gleichmäßig stetigen Funktionen die limes nicht [mm]\infty[/mm]. Aber irgendwie komm ich nicht weiter.
Die Aufgabe lautet:
Seien [mm]a,b\in \IR [/mm] mit a<b, D=(a,b) und f: D-->[mm]\IR[/mm] stetig. Zeigen sie:
a) Ist f gleichmäßig stetig und (xn)n größer gleich 1 eine Cauchy-Folge in D, so ist auch (f(x n))n größer gleich 1 eine Cauchy-Folge.
b) f ist genau dann gleichmäßig stetig, wenn die Grenzwerte Rechterlimes gegen a von f(x) und Linkerlimes gegen b von f(x) existieren.
Vielen Dank schon mal Astrid.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Mi 21.01.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Astrid,
zu a):
Es sei [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig gewählt.
Dann gibt es wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von [mm]f[/mm] ein [mm]\delta>0[/mm], so dass für alle [mm]x,y\in \IR[/mm] mit [mm]|x-y|<\delta[/mm] folgt:
(*) [mm]|f(x) - f(y)| < \varepsilon[/mm],
Da [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Cauchy-Folge ist, gibt es ein [mm]n_o \in \IN[/mm], so dass für alle [mm]n,m \in \IN[/mm] mit [mm]n \ge n_0[/mm], [mm]m \ge n_0[/mm] gilt:
[mm]|x_n - x_m| < \delta.[/mm]
Aus (*) folgt dann für alle [mm]n,m \in \IN[/mm] mit [mm]n \ge n_0[/mm], [mm]m \ge n_0[/mm]:
[mm]|f(x_n) - f(x_m)| < \varepsilon[/mm].
Da [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebige gewählt war, folgt die Behauptung: [mm](f(x_n))_{n \in \IN}[/mm] ist eine Cauchy-Folge.
Wie sieht es denn jetzt mit b) aus? Da ich jetzt hier ungerne alle Aufgaben vorrechnen will, möchte ich wenigstens mal einen kleinen Ansatz von dir sehen.
Die eine Richtung ist doch jetzt trivial... Bei der anderen Richtung, gebe ich zu, muss man ein bisschen nachdenken.
Versuche es mal!
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
|
