Cauchy-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei ε > 0. Berechnen Sie ein [mm] N_{ε} [/mm] so, dass
[mm] |\bruch{n^{2}-1}{n^{2}+1}-1| [/mm] < ε gilt für n > [mm] N_{ε}. [/mm] |
Hey zusammen,
irgendwie bin habe ich das Thema mit der Cauchy-Folge noch nicht so ganz verstanden und bitte euch, diese Folge vielleicht an Hand auch anderer Beispiele noch zu verdeutlichen. Wie berechne ich so ein ε und vorallem dann das [mm] N_{ε}... [/mm]
Vielen Dank schon mal im Voraus!
Lieben Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Fr 13.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Man berechnet nie ein [mm] \epsilon, [/mm] sondern immer das N, das von [mm] \epsilon [/mm] abhängt.
Da dein Ausdruck in den || immer negativ ist, kannst du die || weglassen wenn du das negative nimmst. und dann einfach N ausrechnen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Fr 13.11.2009 | | Autor: | Harrynator |
Du musst also diesen Term so umformen, dass zum Schluss ein Ausdruck wie n > ... herauskommt. Auf der anderen Seite steht dann das [mm] \varepsilon, [/mm] z.B. n > [mm] 1/\varepsilon
[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Sa 14.11.2009 | | Autor: | together |
Hallo zusammen,
ich komme auch folgende Lösung:
Nach Umformung:
[mm] \bruch{-2}{n^2+1}<\varepsilon
[/mm]
[mm] \bruch{-2}{\varepsilon}
[mm] \bruch{-2}{\varepsilon}-1
[mm] \wurzel {\bruch{-2}{\varepsilon}-1}
Stimmt das so?
Oder muss ich ganz am Anfang auf der linken Seite die Vorzeichen umdrehen, da der Betrag ja immer negativ wird?
Wir sollen das dann in der Form schreiben:
Sie haben also bewiesen, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}...=....
[/mm]
Hier sehe ich auf dem Schlauch.
Bin für Hinweise dankbar.
VG
together
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Hallo together,
> [mm]\wurzel {\bruch{2}{\varepsilon}+1}
> Also so?
Nein, so:
[mm]\wurzel {\bruch{2}{\varepsilon}-1}
Kontrollier' deine Rechnung, du wirst den Fehler sicher finden 
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 So 15.11.2009 | | Autor: | tobster |
Habe die gleiche Rechnung, komme aber nicht auf die Lösung sondern auch auf:
[mm] \wurzel {\bruch{2}{\varepsilon}+1}
Kannst Du mir meinen Fehler aufzeigen. Warum setze ich den Betrag falsch, bzw. wie habe ich den zu setzen?
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Hallo tobster,
[mm] $\left|\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1} - 1\right| <\epsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \left|\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1} - \frac{n^{2}+1}{n^{2}+1}\right| <\epsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \left|\frac{-2}{n^{2}+1}\right| <\epsilon$
[/mm]
Nenner immer positiv, Zähler immer negativ, also der gesamte Bruch im Betrag immer negativ; den Betrag kann man also auflösen, indem man stattdessen mal (-1) rechnet.
[mm] $\Rightarrow (-1)*\frac{-2}{n^{2}+1} <\epsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{2}{n^{2}+1} <\epsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{2}{\epsilon}
[mm] $\Rightarrow \frac{2}{\epsilon}\red{-1}
[mm] $\Rightarrow \sqrt{\frac{2}{\epsilon}-1} [/mm] <n$
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 So 15.11.2009 | | Autor: | tobster |
Oh Gott wie blöd.
Ich Trottel habe immer beides -1 gerechnet, was natürlich nichts bringt.
Danke!
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Hallo!
> Sie haben also bewiesen, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}...=....[/mm]
Naja - indem du gezeigt hast, dass für jedes [mm] \epsilon [/mm] > 0 (eigentlich aber auch [mm] \epsilon [/mm] < 1/2, weil sonst deine Formel kein reelles n erzeugt), ein $N = [mm] \sqrt{\frac{2}{\epsilon}-1}$ [/mm] existiert sodass für alle $n>N$ gilt:
[mm] $\left|\blue{\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1}}-\red{1}\right| [/mm] < [mm] \epsilon$,
[/mm]
hast du gezeigt, dass die Folge [mm] $\blue{\left(\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1}\right)_{n\in\IN}}$ [/mm] gegen den Limes [mm] \red{1} [/mm] konvergiert (vgl. Farben), also hast du gezeigt, dass
[mm] $\lim_{n\to\infty}\blue{\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1}} [/mm] = [mm] \red{1}$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Sa 14.11.2009 | | Autor: | together |
Vielen Dank für eure Hinweise!
VG
together
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Fast ... siehe unten!
