Cauchy-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:45 Di 18.05.2010 | | Autor: | Julia_stud |
| Aufgabe | Sei [mm] a_{0}:=0, a_{1}:=1 [/mm] und [mm] a_{n}:=\bruch{a_{n-1}+a_{n-2}}{2} [/mm] für n=2,3,...
Zeigen Sie induktiv, dass [mm] a_{n+1}-a_{n}=\bruch{(-1)^n}{2^n} [/mm] und beweisen Sie die Konvergenz der Folge [mm] a_{n} [/mm] mit Hilfe des cauchy-Kriteriums. |
Leider finde ich überhaupt keinen Ansatz...
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> Sei [mm]a_{0}:=0, a_{1}:=1[/mm] und
> [mm]a_{n}:=\bruch{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}[/mm] für n=2,3,...
> Zeigen Sie induktiv, dass
> [mm]a_{n+1}-a_{n}=\bruch{(-1)^n}{2^n}[/mm] und beweisen Sie die
> Konvergenz der Folge [mm]a_{n}[/mm] mit Hilfe des cauchy-Kriteriums.
> Leider finde ich überhaupt keinen Ansatz...
Hallo,
woran liegt das denn?
Wie sehen Deine Versuche aus, die Aussage
> [mm]a_{n+1}-a_{n}=\bruch{(-1)^n}{2^n}[/mm] für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
induktiv zu zeigen?
Ohne zu sehen, was Du tust, kann man schlecht helfen.
Was ist eine Cauchyfolge?
Was mußt Du hier also zeigen, wenn Du nachweisen willst, daß [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchyfolge ist?
Wie weit bist Du damit gekommen, woran scheiterst Du?
was hat "Cauchyfolge" mit Konvergenz zu tun?
Gruß v. Angela
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Hallo,
dies ist die erste Aufgabe dieser Art die ich bearbeite, die Aussage:
> > [mm]a_{n+1}-a_{n}=\bruch{(-1)^n}{2^n}[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm]
induktiv zeigen, da habe ich überhaupt keine Idee...
> Was ist eine Cauchyfolge?
Bei einer Chauchy-Folge wird die relative Lage der Folgenglieder zueinander untersucht.
> Was mußt Du hier also zeigen, wenn Du nachweisen willst,
> daß [mm](a_n)[/mm] eine Cauchyfolge ist?
Ich muss ein [mm] \varepsilon [/mm] wählen, so dass gilt:
[mm] |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon
[/mm]
...doch welchen Index muss ich hierbei untersuchen?
> was hat "Cauchyfolge" mit Konvergenz zu tun?
Nach dem Chauchy-Kriterium:
Eine reelle Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine Chauchy-Folge ist.
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Hallo Julia!
Aber das Verfahren der vollständigen Induktion an sich ist Dir bekannt?
Im Induktionsanfang musst Du zunächst [mm] $a_1-a_0 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(-1)^0}{2^0}$ [/mm] zeigen.
Im Induktionsschritt ist dann folgendes zu zeigen:
[mm] $$a_{n+2}-a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}$$
[/mm]
Dabei muss auch die Induktionsvoraussetzung [mm] $a_{n+1}-a_{n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(-1)^{n}}{2^{n}}$ [/mm] verwendet werden.
Gruß vom
Roadrunner
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> Aber das Verfahren der vollständigen Induktion an sich ist
> Dir bekannt?
Ja mit der v. Induktion hatte ich noch keine Schwierigkeiten.
> Im Induktionsanfang musst Du zunächst [mm]a_1-a_0 \ = \ \bruch{(-1)^0}{2^0}[/mm]
> zeigen.
[mm] a_1-a_0 [/mm] ist nach Aufgabenstellung wohl 1-0...wie kommst du auf den Bruch?
> Im Induktionsschritt ist dann folgendes zu zeigen:
> [mm]a_{n+2}-a_{n+1} \ = \ \bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}[/mm]
??? Wohler bekomme ich die [mm] a_{n+2}-a_{n+1}?
[/mm]
> Dabei muss auch die Induktionsvoraussetzung [mm]a_{n+1}-a_{n} \ = \ \bruch{(-1)^{n}}{2^{n}}[/mm]
Meine I-V. ist mir in der Aufgabenstellung gegeben, das verstehe ich:)
Sorry aber ich bekomme das nicht auf die Reihe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 Di 18.05.2010 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Julia!
Deine Rückfragen zeigen mir aber deutlich, dass Du das Prinzip der vollständigen Induktion noch nicht verstanden und verinnerlicht hast.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Julia,
>
> > Aber das Verfahren der vollständigen Induktion an sich ist
> > Dir bekannt?
> Ja mit der v. Induktion hatte ich noch keine
> Schwierigkeiten.
>
> > Im Induktionsanfang musst Du zunächst [mm]a_1-a_0 \ = \ \bruch{(-1)^0}{2^0}[/mm]
> > zeigen.
> [mm]a_1-a_0[/mm] ist nach Aufgabenstellung wohl 1-0...wie kommst du
> auf den Bruch?
Das ist nur die 1 etwas umständlich geschrieben, du willst doch genau auf diese Darstellung hinaus. Das Ziel solltest du immer im Hinterkopf behalten ...
>
>
> > Im Induktionsschritt ist dann folgendes zu zeigen:
> > [mm]a_{n+2}-a_{n+1} \ = \ \bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}[/mm]
>
> ??? Wohler bekomme ich die [mm]a_{n+2}-a_{n+1}?[/mm]
Meine Güte, das steht doch im Aufgabentext [mm] $a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2}$
[/mm]
>
> > Dabei muss auch die Induktionsvoraussetzung [mm]a_{n+1}-a_{n} \ = \ \bruch{(-1)^{n}}{2^{n}}[/mm]
>
> Meine I-V. ist mir in der Aufgabenstellung gegeben, das
> verstehe ich:)
>
> Sorry aber ich bekomme das nicht auf die Reihe!
Schreibe dir nun [mm] $a_{n+2}-a_{n+1}$ [/mm] hin, forme es so um, dass du den Ausdruck [mm] $a_{n+1}-a_n$ [/mm] irgendwo stehen hast, auf den du die IV anwenden kannst ...
Gruß
schachuzipus
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Induktionsanfang:
[mm] a_1-a_0=\bruch{(-1)^0}{2^0}
[/mm]
[mm] 1-0=\bruch{1}{1}
[/mm]
1=1
Induktionsvorraussetzung:
[mm] a_{n+1}-a_n=\bruch{(-1)^n}{2^n}
[/mm]
Induktionsschluss:
[mm] a_{n+2}-a_{n+1}=\bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}
[/mm]
[mm] a_n(a_{n+1}-a_{n})=
[/mm]
nach IV:
[mm] \bruch{(-1)}{2}*\bruch{(-1)^{n}}{2^{n}}=\bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}
[/mm]
[mm] \bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}=\bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}} [/mm] q.e.d.
Ich verstehe immer noch nicht woher der Induktionsschluss kommt, die seite [mm] \bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}} [/mm] ist mir unklar!
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Hallo,
du solltest vielleicht noch jeweils dazu schreiben, was eigentlich mit "Induktionsbeginn" und "Induktionsschritt" gemeint ist. D.h. kurze Anmerkungen wie " Sei $\ n = 0 $ .... oder "Sei $\ [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] = ... $ für ein bel. $\ n [mm] \in \IN$." [/mm] hilft sowohl Dir als auch dem Korrektor nachzuvollziehen, was du da eigentlich machst.
> Induktionsanfang:
>
> [mm]a_1-a_0=\bruch{(-1)^0}{2^0}[/mm]
> [mm]1-0=\bruch{1}{1}[/mm]
> 1=1
Ok
>
> Induktionsvorraussetzung:
> [mm]a_{n+1}-a_n=\bruch{(-1)^n}{2^n}[/mm]
>
> Induktionsschluss:
> [mm]a_{n+2}-a_{n+1}=\bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}[/mm]
Das gilt zu zeigen!
>
> [mm]a_n(a_{n+1}-a_{n})=[/mm]
??? Nein. $\ [mm] a_{n+2} \not= a_n [/mm] * [mm] a_{n+1} [/mm] $ !! $\ [mm] a_{n+2} [/mm] $ ist das Folgeglied von $\ [mm] a_{n+1}$. [/mm] Mach dir das klar.
Um zu deinem Induktionsschluss zu kommen, überlege dir, wie $\ [mm] a_{n+2} [/mm] - [mm] a_{n+1} [/mm] $ aussieht. Als Hilfe dient dir $\ [mm] a_{n}:=\bruch{a_{n-1}+a_{n-2}}{2} [/mm] $ .
>
> nach IV:
>
> [mm]\bruch{(-1)}{2}*\bruch{(-1)^{n}}{2^{n}}=\bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}=\bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}[/mm]
> q.e.d.
>
> Ich verstehe immer noch nicht woher der Induktionsschluss
> kommt, die seite [mm]\bruch{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}[/mm] ist mir
> unklar!
Versuch' die vollst. Induktion richtig und sauber aufzuschreiben. Dann erledigt sich das von selbst.
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Di 18.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> dies ist die erste Aufgabe dieser Art die ich bearbeite,
> die Aussage:
>
> > > [mm]a_{n+1}-a_{n}=\bruch{(-1)^n}{2^n}[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm]
>
>
> induktiv zeigen, da habe ich überhaupt keine Idee...
............... dazu hat Roadrunner schon was gesagt ............
>
>
> > Was ist eine Cauchyfolge?
> Bei einer Chauchy-Folge wird die relative Lage der
> Folgenglieder zueinander untersucht.
Wow !!! Und was soll das bitteschön bedeuten ? Nicht antworten ! Warum gehst Du nicht her und durchforstest Skripten, Bücher, ... und machst Dich mal schlau, was eine Cauchyfolge ist.
Ich versuche auch nicht, ein Rattatängteng zu kochen, ohne zu wissen, was das ist.
>
> > Was mußt Du hier also zeigen, wenn Du nachweisen willst,
> > daß [mm](a_n)[/mm] eine Cauchyfolge ist?
>
> Ich muss ein [mm]\varepsilon[/mm] wählen, so dass gilt:
>
> [mm]|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon[/mm]
Quatsch. S.o.
>
> ...doch welchen Index muss ich hierbei untersuchen?
>
> > was hat "Cauchyfolge" mit Konvergenz zu tun?
> Nach dem Chauchy-Kriterium:
> Eine reelle Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine
> Chauchy-Folge ist.
Das stimmt
FRED
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