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Forum "Folgen und Reihen" - Cauchy-Folge
Cauchy-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Cauchy-Folge: Beschränktheit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 Mo 29.11.2010
Autor: Big_Head78

Aufgabe
Sei [mm] x_{0}=1, x_{1}=0,5 [/mm] und [mm] x_{n+1}= \bruch{1}{1+x_{n}} [/mm] für n [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen sie 0,5 [mm] \le x_{n} \le [/mm] 1 für alle n [mm] \in \IN [/mm] und

[mm] |x_{n+k+1}-x_{n+1}| \le [/mm] ( [mm] \bruch{2}{3})^2 |x_{n+k}-x_{n}| \le [/mm] ( [mm] \bruch{4}{9})^n |x_{k}-x_{0}| [/mm]

für k,n [mm] \in \IN. [/mm] Folgern sie, dass (xn) eine Cauchy-Folge ist und bestimmen sie den Grenzwert.

So ich habe jetzt mal versucht zu zeigen:

xn [mm] \ge [/mm] 0,5

n=1: [mm] x_{2}= \bruch{2}{3} \ge0,5 [/mm]

n [mm] \to [/mm] n+1:

[mm] x_{n+1+1}= \bruch{1}{1+x_{n+1}}= \bruch{1+x_{n}}{2+x_{n}}= \bruch{1}{2+x_{n}}+ \bruch{x_{n}}{2+x_{n}} [/mm]

[mm] \bruch{1}{1+x_{n}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{2+x_{n}} [/mm] > 0,5 (IV)

[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2+x_{n}}+ \bruch{x_{n}}{2+x_{n}} \ge [/mm] 0,5 (Weil der zweite Summand ja auf jeden Fall <0 ist)

Ist das bis hier richtig? für <1 will ich das dann genauso versuchen.

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.


        
Bezug
Cauchy-Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Mo 29.11.2010
Autor: wauwau

1. dass die Folgenglieder <1 sind ist unmittelbar ersichtlich, da der Nenner der Rekursion gößer ist als der Zähler [mm] (x_n [/mm] positiv)

2. deine vollst. Induktion kann ich nicht ganz nachvollziehen

gelte die Behauptung für [mm] x_n [/mm] und [mm] x_n [/mm] < 1 wie in 1. gezeigt

dann folgt

[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{1+x_n}>\frac{1}{1+1}=0,5 [/mm]

daher gilt die Behauptung auch für n+1  qed.

Bezug
                
Bezug
Cauchy-Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Mo 29.11.2010
Autor: Big_Head78

ich habe zur ersten Ungleichung den Ansatz:

[mm] |x_{n+k+1}-x_{n+1}|= [/mm] | [mm] \bruch{x_{n}-x_{n+k}}{(1+x_{n+k})(1+x_{n})}| \le \bruch{x_{n}-x_{n+k}}{(1+ \bruch{1}{2})(1+ \bruch{1}{2})}|=( \bruch{2}{3})^2 *|x_{n}-x_{n+k}| [/mm]

Und für die zweite:
ich nutze die erste aus

( [mm] \bruch{2}{3})^2 *|x_{n+k}-x_{n}| \le [/mm] ( [mm] \bruch{2}{3})^2 [/mm] *( [mm] \bruch{2}{3})^2 *|x_{n+k-1}-x_{n-1}| \le... \le \underbrace{( \bruch{2}{3})^2 *...*( \bruch{2}{3})^2}_{=n+1} *|x_{n+k-n}-x_{n-n}|= [/mm] ( [mm] \bruch{4}{9})^{n+1} [/mm] |xk-x0|

Richtig?



Bezug
                        
Bezug
Cauchy-Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 Mi 01.12.2010
Autor: wauwau

Stimmt im Prinzip

Bezug
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