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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Di 02.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | Sei [mm] \{x_n\} [/mm] eine Cauchy-Folge in einem geordneten Körper [mm] \IK. [/mm] Gilt dann stets genau einer der folgenden Fälle?
1. [mm] \lim_{n\to\infty}x_n=0
[/mm]
2. Es existieren ein [mm] \delta\in\IK, \delta>0 [/mm] und ein [mm] N_\delta\in\IN [/mm] so, dass für alle [mm] n>N_\delta [/mm] gilt: [mm] x_n>\delta
[/mm]
3. Es existieren ein [mm] \delta\in\IK, \delta<0 [/mm] und ein [mm] N_\delta\in\IN [/mm] so, dass für alle [mm] n>N_\delta [/mm] gilt: [mm] x_n<\delta [/mm] |
Hallo,
um eine Argumentationslücke in einer Beweisführung zu schließen, müsste ich die obige Aussage beweisen, die mir intuitiv auch einleuchtend ist, allerdings finde ich nicht wirklich einen Ansatz und bin mir deswegen auch nicht ganz sicher, ob sie richtig ist.
Es wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Di 02.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Axiom96,
> Sei [mm]\{x_n\}[/mm] eine Cauchy-Folge in einem geordneten Körper
> [mm]\IK.[/mm] Gilt dann stets genau einer der folgenden Fälle?
> 1. [mm]\lim_{n\to\infty}x_n=0[/mm]
> 2. Es existieren ein [mm]\delta\in\IK, \delta>0[/mm] und ein
> [mm]N_\delta\in\IN[/mm] so, dass für alle [mm]n>N_\delta[/mm] gilt:
> [mm]x_n>\delta[/mm]
> 3. Es existieren ein [mm]\delta\in\IK, \delta<0[/mm] und ein
> [mm]N_\delta\in\IN[/mm] so, dass für alle [mm]n>N_\delta[/mm] gilt:
> [mm]x_n<\delta[/mm]
> Hallo,
>
> um eine Argumentationslücke in einer Beweisführung zu
> schließen, müsste ich die obige Aussage beweisen, die mir
> intuitiv auch einleuchtend ist, allerdings finde ich nicht
> wirklich einen Ansatz und bin mir deswegen auch nicht ganz
> sicher, ob sie richtig ist.
Ich denke, sie ist richtig. Um das einzusehen, verneine [mm] $\lim x_n [/mm] = 0$.
Dann gibt es ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$, so daß [mm] $|x_n| \ge \epsilon$ [/mm] für unendlich viele $n$. Hieraus folgt [mm] $x_n \ge \epsilon$ [/mm] für unendliche viele $n$ oder [mm] $x_n \le -\epsilon$ [/mm] für unendlich viele $n$.
Jetzt kannst Du zeigen, daß 2. oder 3. gilt.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Di 02.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Hallo Axiom96,
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> > Sei [mm]\{x_n\}[/mm] eine Cauchy-Folge in einem geordneten Körper
> > [mm]\IK.[/mm] Gilt dann stets genau einer der folgenden Fälle?
> > 1. [mm]\lim_{n\to\infty}x_n=0[/mm]
> > 2. Es existieren ein [mm]\delta\in\IK, \delta>0[/mm] und ein
> > [mm]N_\delta\in\IN[/mm] so, dass für alle [mm]n>N_\delta[/mm] gilt:
> > [mm]x_n>\delta[/mm]
> > 3. Es existieren ein [mm]\delta\in\IK, \delta<0[/mm] und ein
> > [mm]N_\delta\in\IN[/mm] so, dass für alle [mm]n>N_\delta[/mm] gilt:
> > [mm]x_n<\delta[/mm]
> > Hallo,
> >
> > um eine Argumentationslücke in einer Beweisführung zu
> > schließen, müsste ich die obige Aussage beweisen, die mir
> > intuitiv auch einleuchtend ist, allerdings finde ich nicht
> > wirklich einen Ansatz und bin mir deswegen auch nicht ganz
> > sicher, ob sie richtig ist.
>
> Ich denke, sie ist richtig. Um das einzusehen, verneine
> [mm]\lim x_n = 0[/mm].
> Dann gibt es ein [mm]\epsilon > 0[/mm], so daß [mm]|x_n| \ge \epsilon[/mm]
> für unendlich viele [mm]n[/mm]. Hieraus folgt [mm]x_n \ge \epsilon[/mm] für
> unendliche viele [mm]n[/mm] oder [mm]x_n \le -\epsilon[/mm] für unendlich
> viele [mm]n[/mm].
>
> Jetzt kannst Du zeigen, daß 2. oder 3. gilt.
>
> Grüße,
> Wolfgang
>
Hallo,
dass unendlich viele [mm] x_n\ge\varepsilon [/mm] oder [mm] x_n\le\-varepsilon [/mm] ist, träfe aber auch auf die Folge [mm] x_n:=(-1)^n [/mm] zu, aber nicht GENAU einer der 3 Fälle, sondern die letzten beiden. Mein Problem liegt darin, daraus dass [mm] x_n [/mm] zusätzlich Cauchy-Folge ist, zu zeigen, dass entweder 2. oder 3. zutreffen, aber nicht beide.
Oder habe ich etwas missverstanden?
Vielen Dank trotzdem und viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Di 02.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Axiom,
> > Hallo Axiom96,
> >
> > > Sei [mm]\{x_n\}[/mm] eine Cauchy-Folge in einem geordneten Körper
> > > [mm]\IK.[/mm] Gilt dann stets genau einer der folgenden Fälle?
> > > 1. [mm]\lim_{n\to\infty}x_n=0[/mm]
> > > 2. Es existieren ein [mm]\delta\in\IK, \delta>0[/mm] und ein
> > > [mm]N_\delta\in\IN[/mm] so, dass für alle [mm]n>N_\delta[/mm] gilt:
> > > [mm]x_n>\delta[/mm]
> > > 3. Es existieren ein [mm]\delta\in\IK, \delta<0[/mm] und ein
> > > [mm]N_\delta\in\IN[/mm] so, dass für alle [mm]n>N_\delta[/mm] gilt:
> > > [mm]x_n<\delta[/mm]
> > > Hallo,
> > >
> > > um eine Argumentationslücke in einer Beweisführung zu
> > > schließen, müsste ich die obige Aussage beweisen, die mir
> > > intuitiv auch einleuchtend ist, allerdings finde ich nicht
> > > wirklich einen Ansatz und bin mir deswegen auch nicht ganz
> > > sicher, ob sie richtig ist.
> >
> > Ich denke, sie ist richtig. Um das einzusehen, verneine
> > [mm]\lim x_n = 0[/mm].
> > Dann gibt es ein [mm]\epsilon > 0[/mm], so daß
> [mm]|x_n| \ge \epsilon[/mm]
> > für unendlich viele [mm]n[/mm]. Hieraus folgt [mm]x_n \ge \epsilon[/mm] für
> > unendliche viele [mm]n[/mm] oder [mm]x_n \le -\epsilon[/mm] für unendlich
> > viele [mm]n[/mm].
> >
> > Jetzt kannst Du zeigen, daß 2. oder 3. gilt.
> >
> > Grüße,
> > Wolfgang
> >
> Hallo,
> dass unendlich viele [mm]x_n\ge\varepsilon[/mm] oder
> [mm]x_n\le\-varepsilon[/mm] ist, träfe aber auch auf die Folge
> [mm]x_n:=(-1)^n[/mm] zu, aber nicht GENAU einer der 3 Fälle,
> sondern die letzten beiden. Mein Problem liegt darin,
> daraus dass [mm]x_n[/mm] zusätzlich Cauchy-Folge ist, zu zeigen,
> dass entweder 2. oder 3. zutreffen, aber nicht beide.
>
> Oder habe ich etwas missverstanden?
nein, ich denke, Du hast Wolfgang absolut korrekt verstanden. Mach' Dir
aber erst mal klar, wo Wolfgang die Ordnung des Körpers verwendet. Jetzt
nimm' mal an, sowohl 2ens als auch drittens träfe zu.
Für jedes $N [mm] \in \IN$ [/mm] gilt dann:
Es gibt ein $n > [mm] N\,$ [/mm] mit [mm] $x_n \ge \varepsilon\,,$ [/mm] und es gibt ein $m > N$
mit [mm] $x_m \le -\varepsilon\,.$ [/mm]
(Beachte: Dass eine Aussage [mm] $A=A(n)\,$ [/mm] wahr ist für unendlich viele [mm] $n\,,$
[/mm]
bedeutet gerade bzw. ist äquivalent zu: Zu jedem $N [mm] \in \IN$ [/mm] gibt es eine
natürliche Zahl $m [mm] \ge [/mm] N$ so, dass [mm] $A(m)\,$ [/mm] wahr ist!)
Wie groß wird dann wohl [mm] $|x_n-x_m|=x_n-x_m$ [/mm] mindestens sein? Und
jetzt schau' mal, wie die Negierung von Cauchyfolge aussieht, und was
daraus also folgt: Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] uns dann noch ganz Cauchy? 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 02.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
ja, jetzt ist es klar. In den letzten Tagen übersehe ich die offensichtlichsten Dinge... Aber gut, jetzt hab ich's ja. Vielen Dank euch beiden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Di 02.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Axiom,
> Hallo,
> ja, jetzt ist es klar. In den letzten Tagen übersehe ich
> die offensichtlichsten Dinge...
wenn Dir das wirklich so vorkommt: Bedenke, dass Dein Gehirn auch mal
abschalten muss. Dein Ehrgeiz und Lernwillen in allen Ehren, aber Du bist
jung, und wenn Du merkst, dass etwas "nicht richtig läuft", ist das meist
ein Zeichen, dass Dein Körper/Dein Gehirn ein wenig gestresst ist. Und da
Du noch jung bist: Gönne Dir eine Auszeit. Das heißt ja nicht, dass Du
etwas verpassen wirst - ich will Dich weder von der Mathematik noch vom
Matheraum fern halten, im Gegenteil!! - sondern eher, dass Du dadurch
später auf lange Zeit "besser funktionierst". Nicht selten arbeitet Dein
Gehirn auch noch an einem Problem noch weiter, was Dir gar nicht so
bewußt ist, und dann wird sich sogar durch eine Auszeit vielleicht die eine
oder andere Unklarheit, die noch besteht, von selbst lösen. Ein guter
Arbeitgeber weiß sogar, dass regelmäßige Pausen die Arbeitseffizienz
erhöhen. Und wie gesagt: Erholung tut immer gut, vor allem auch dem
Geist!!
Inwiefern Du aber wirklich eine Pause machen solltest, kannst Du nur
selbst entscheiden. Sicher aber brauchst Du eine, wenn Du tagsüber
schon manchmal "schwere Augen" oder Müdigkeitsanfälle haben solltest.
Und Du bist ja schon so manchmal etwas länger im MR, bis in die Nacht,
wenn ich mich recht erinnere. Ist kein Vorwurf, fasse das bitte nicht so auf,
ich spreche nur aus eigener Erfahrung. Und als Schüler hat man eh ein
wenig mehr weniger Probleme damit, mal ein wenig in manchen Sachen
zu "pausieren" - wenn's denn nötig sein sollte!
> Aber gut, jetzt hab ich's
> ja. Vielen Dank euch beiden.
Gerne! 
Gruß,
Marcel
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