Cauchy-Riemann Diff.gleichung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Di 26.06.2012 | | Autor: | saendra |
| Aufgabe | Hey ihr! Diese Funktion ist gegeben: $ [mm] \IC \to \IC [/mm] ,\ [mm] f(x+iy)=\begin{cases} \frac{xy(x+iy)}{x^2+y^2} & \text{für } x+iy\neq 0 \\ 0 & \text{für } x+iy=0\end{cases} [/mm] $
Zeige, die partiellen Ableitungen von $ f $ erfüllen die Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen. |
Ich hab $ f $ erst in eine isomorphe Funktion umgeformt: $ [mm] \frac{xy(x+iy)}{x^2+y^2}=\frac{x^2y}{x^2+y^2}+i\frac{xy^2}{x^2+y^2}\quad \Rightarrow \tilde f\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} \frac{x^2y}{x^2+y^2} \\ \\ \frac{xy^2}{x^2+y^2} \end{pmatrix} [/mm] $
Nur leider ist z.B. $ [mm] \frac{\partial u}{\partial x}(x, [/mm] y) = [mm] \frac{2xy^3}{(x^2+y^2)^2} [/mm] $ und $ [mm] \frac{\partial v}{\partial y}(x, [/mm] y) = [mm] \frac{2x^3y}{(x^2+y^2)^2} [/mm] $
und damit $ [mm] \frac{\partial u}{\partial x}(x, [/mm] y) [mm] \neq \frac{\partial v}{\partial y}(x, [/mm] y) $ !
Dann sind doch die CRpD nicht erfüllt oder? Oder hab ich etwas falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Di 26.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hey ihr! Diese Funktion ist gegeben: [mm]\IC \to \IC ,\ f(x+iy)=\begin{cases} \frac{xy(x+iy)}{x^2+y^2} & \text{für } x+iy\neq 0 \\ 0 & \text{für } x+iy=0\end{cases}[/mm]
>
> Zeige, die partiellen Ableitungen von [mm]f[/mm] erfüllen die
> Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen.
> Ich hab [mm]f[/mm] erst in eine isomorphe Funktion umgeformt:
> [mm]\frac{xy(x+iy)}{x^2+y^2}=\frac{x^2y}{x^2+y^2}+i\frac{xy^2}{x^2+y^2}\quad \Rightarrow \tilde f\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}:=\begin{pmatrix} \frac{x^2y}{x^2+y^2} \\ \\ \frac{xy^2}{x^2+y^2} \end{pmatrix}[/mm]
>
> Nur leider ist z.B. [mm]\frac{\partial u}{\partial x}(x, y) = \frac{2xy^3}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
> und [mm]\frac{\partial v}{\partial y}(x, y) = \frac{2x^3y}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> und damit [mm]\frac{\partial u}{\partial x}(x, y) \neq \frac{\partial v}{\partial y}(x, y) [/mm]
> !
>
> Dann sind doch die CRpD nicht erfüllt oder?
Das stimmt.
> Oder hab ich
> etwas falsch gemacht?
Nein
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Di 26.06.2012 | | Autor: | saendra |
ohhhhhh vielen Dank....
bin nämlich schon seit ner Stunde dabei mich verrückt zu machen. Danke für deine Hilfe! ![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]")
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Überprüfe die Aufgabenstellung. Sollst du wirklich die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen überall nachweisen? Oder vielleicht nur im Ursprung?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:37 Di 26.06.2012 | | Autor: | saendra |
Hi Leopold_Gast, das war der 1. Teil der Aufgabe: die partielle differenzierbarkeit im Ursprung nachweisen. Der 2. Teil ist der, zu dem ich vorhin die Frage hatte.
komisch, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 28.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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