Cauchy-Ungleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:58 So 23.03.2014 | | Autor: | CaNi |
| Aufgabe | | Beweise das [mm] E[X]^2 \le [/mm] E[X²] |
Hi,
dies ist eine Frage von mir selbst. Ich kenne die Cauchy-Ungleichung nur als [mm] E[XY]^2 \le E[X^2] E[Y^2]. [/mm] Hier kann man es ja schön über die Determinante bestimmen und bekommt [mm] 4E[XY]^2 \le 4E[X^2] E[Y^2] [/mm] qed.
Nun ist mir aber obige Aussage in die Arme gefallen und ich finde gar keine Idee wie man das beweisen könnte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 So 23.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo CaNi!
> Beweise das [mm]E[X]^2 \le[/mm] E[X²]
Ich nehme mal an, $X$ soll eine integrierbare Zufallsgröße sein?
> dies ist eine Frage von mir selbst. Ich kenne die
> Cauchy-Ungleichung nur als [mm]E[XY]^2 \le E[X^2] E[Y^2].[/mm]
Daraus bekommst du deine gewünschte Ungleichung, indem du $Y$ als die Zufallsgröße wählst, die konstant den Wert 1 annimmt.
Alternative: Kennst du die Jensensche Ungleichung?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 So 23.03.2014 | | Autor: | CaNi |
Nein, die hatten wir noch nicht :)
Ja, mein Beweis ist aber $ [mm] E[XY]^2 \le E[X^2] E[Y^2] [/mm] $
Sei Z = Y - aX
[mm] E[Z]^2 [/mm] = [mm] E[Y^2] [/mm] - 2aE[Y]E[X] + a² [mm] E[X^2]
[/mm]
Und als Polynom in n hat die GLeichung nur die Determinante als reele Nullstelle = > [mm] 4E[XY]^2 [/mm] - [mm] 4E[X^2]E[Y^2] [/mm] = 0
[mm] E[X]^2 \le E[X^2] [/mm] dann müsste ich um das zu beweisen also sagen sei Z = Y -aX und Y = 1? oder wie stellst du dir das vor :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 So 23.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Ja, mein Beweis ist aber [mm]E[XY]^2 \le E[X^2] E[Y^2][/mm]
> Sei Z = Y - aX
> [mm]E[Z]^2[/mm] = [mm]E[Y^2][/mm] - 2aE[Y]E[X] + a² [mm]E[X^2][/mm]
>
> Und als Polynom in n hat die GLeichung nur die Determinante
> als reele Nullstelle = > [mm]4E[XY]^2[/mm] - [mm]4E[X^2]E[Y^2][/mm] = 0
>
> [mm]E[X]^2 \le E[X^2][/mm] dann müsste ich um das zu beweisen
> also sagen sei Z = Y -aX und Y = 1? oder wie stellst du dir
> das vor :D
Ich kann deinem Beweis nicht wirklich folgen. Das spielt aber auch keine Rolle:
Bewiesen habt ihr offenbar, dass für alle integrierbaren Zufallsgrößen X und Y die Ungleichung
(*) [mm] $E[XY]^2 \le E[X^2] E[Y^2]$
[/mm]
gilt. Dieses Resultat (nicht etwa dessen Beweis) verwenden wir gleich.
(*) gilt insbesondere für jede integrierbare Zufallsgröße $X$ und die (integrierbare) Zufallsgröße
[mm] $Y\colon\Omega\to\IR,\quad Y(\omega)=1$.
[/mm]
Somit gilt für jede integrierbare Zufallsgröße $X$ mit dieser Wahl von $Y$:
[mm] $(E[X])^2=(E[XY])^2\le E[X^2]E[Y^2]=E[X^2]*1=E[X^2]$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 So 23.03.2014 | | Autor: | CaNi |
$ [mm] (E[X])^2=(E[XY])^2\le E[X^2]E[Y^2]=E[X^2]\cdot{}1=E[X^2] [/mm] $
Hm, ok. Das wäre der beweis wenn man [mm] E[XY]^2 [/mm] = [mm] (E[XY])^2\le E[X^2]E[Y^2] [/mm] vorraussetzen kann. Mein Prof meinte aber man könne es ohne diese Vorraussetzung auch Beweisen, in seinen Augen sogar leichter... KA was er meinte...
Vielen Dank auf jeden Fall mal hierfür, ist ja nicht falsch, kann ja jeden Schritt wie er darsteht auch Begründen :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 So 23.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Mein Prof
> meinte aber man könne es ohne diese Vorraussetzung auch
> Beweisen, in seinen Augen sogar leichter... KA was er
> meinte...
Vielleicht meinte er folgendes Vorgehen:
Es gilt (ergänze die fehlenden Schritte):
[mm] $0\le E[(X-E[X])^2]=\ldots=E[X^2]-(E[X])^2$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 So 23.03.2014 | | Autor: | CaNi |
hm, weiss nicht worauf du hinaus willst :) sieht mir auch nicht bekannt aus was du da geschrieben hast :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 So 23.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
> hm, weiss nicht worauf du hinaus willst :) sieht mir auch
> nicht bekannt aus was du da geschrieben hast :(
Wenn du die fehlenden Schritte in
[mm] $0\le E[(X-E[X])^2]=\ldots=E[X^2]-(E[X])^2$
[/mm]
ergänzt (wende dazu zunächst die zweite binomische Formel auf [mm] $(X-E[X])^2$ [/mm] an), hast du
[mm] $0\le E[X^2]-(E[X])^2$
[/mm]
gezeigt.
Addierst du dann auf beiden Seiten [mm] $(E[X])^2$, [/mm] so erhältst du die gewünschte Ungleichung
[mm] $(E[X])^2\le E[X^2]$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 So 23.03.2014 | | Autor: | CaNi |
Ach wie doof!! Das ist es sicher! Vielen Dank für deine Hilfe und Geduld :D
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