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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:45 Mo 08.12.2008 | | Autor: | cauchy |
| Aufgabe | Sei f eine ganze Funktion. Es gebe c>0 und M>0, so dass für alle [mm] z\in\IC [/mm] gilt:
[mm] |f(z)|e^{-c|z|}\le [/mm] M
Folgern Sie hieraus für alle [mm] z\in\IC
[/mm]
[mm] |f'(z)|e^{-c|z|}\le [/mm] ceM |
Hallo, ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube, dass man diese Aufgabe mithilfe der Cauchyschen Ungleichungen lösen kann?
Die Cauchyschen Ungleichungen sind bei uns wie folgt definiert:
Sei r>0 und f holomorph auf einer offenen Menge [mm] \supset \overline{D}(z_0,r). [/mm] Wenn [mm] 0<\delta\le [/mm] r und [mm] z\in\IC [/mm] mit [mm] |z-z_0|\le r-\delta, [/mm] so gilt für beliebiges [mm] n\in\IN_0:
[/mm]
[mm] |f^{(n)}(z)| \le \bruch{r}{\delta} \bruch{n!}{\delta^n} \max_{|\varphi-z_0|=r}{|f(\varphi)|}.
[/mm]
Außerdem haben wir folgendes Korollar
Ist f holomorph auf [mm] \overline{D}(z_0,r), [/mm] so hat man
[mm] |f^{(n)}|\le\bruch{n!}{r^n}\max_{|\varphi-z_0|=r}{|f(\varphi)|}, [/mm] n=0,1,2,...
So, ich würde nun dieses ominöse "M" durch den rechten Teil in den Cauchy-Ungleichungen (ich würde die zweite Form nehmen, unser Prof hat gesagt, dass diese Form für viele Zwecke ausreicht) bestimmen und das dann in die zu zeigende Ungleichung einsetzen.
Ist die Idee soweit richtig? Oder muss hier was ganz anderes machen?
MfG, cauchy (der anscheinend seine eigenen Ungleichungen nicht kann *g*)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f eine ganze Funktion. Es gebe c>0 und M>0, so dass für
> alle [mm]z\in\IC[/mm] gilt:
>
> [mm]|f(z)|e^{-c|z|}\le[/mm] M
>
> Folgern Sie hieraus für alle [mm]z\in\IC[/mm]
>
> [mm]|f'(z)|e^{-c|z|}\le[/mm] ceM
> Hallo, ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube, dass man
> diese Aufgabe mithilfe der Cauchyschen Ungleichungen lösen
> kann?
>
> Die Cauchyschen Ungleichungen sind bei uns wie folgt
> definiert:
>
> Sei r>0 und f holomorph auf einer offenen Menge [mm]\supset \overline{D}(z_0,r).[/mm]
> Wenn [mm]0<\delta\le[/mm] r und [mm]z\in\IC[/mm] mit [mm]|z-z_0|\le r-\delta,[/mm] so
> gilt für beliebiges [mm]n\in\IN_0:[/mm]
>
> [mm]|f^{(n)}(z)| \le \bruch{r}{\delta} \bruch{n!}{\delta^n} \max_{|\varphi-z_0|=r}{|f(\varphi)|}.[/mm]
>
> Außerdem haben wir folgendes Korollar
>
> Ist f holomorph auf [mm]\overline{D}(z_0,r),[/mm] so hat man
>
> [mm]|f^{(n)}\red{(z_0)}|\le\bruch{n!}{r^n}\max_{|\varphi-z_0|=r}{|f(\varphi)|},[/mm]
> n=0,1,2,...
>
> So, ich würde nun dieses ominöse "M" durch den rechten Teil
> in den Cauchy-Ungleichungen (ich würde die zweite Form
> nehmen, unser Prof hat gesagt, dass diese Form für viele
> Zwecke ausreicht)
ähm ja, die zweite Ungleichung ist ja eh nur die erste im speziellen Falle [mm] $\delta=r\,.$
[/mm]
> bestimmen und das dann in die zu zeigende
> Ungleichung einsetzen.
> Ist die Idee soweit richtig? Oder muss hier was ganz
> anderes machen?
Naja, probier' es doch einfach mal:
Sei $z [mm] \in \IC$ [/mm] beliebig, aber fest. Dann gilt für jedes $r$ mit $r > 0$
$$|f'(z)| [mm] \le \frac{1}{r} \max_{|\varphi|=r}|f(\varphi)| \le \frac{1}{r}Me^{cr}$$
[/mm]
Sieht doch gut aus. Tipp:
Naja, daraus folgt
[mm] $$|f'(z)|e^{-c|z|} \le \frac{1}{r}Me^{cr}e^{-c|z|}\,.$$
[/mm]
Edit: Sorry, da war dauernd eine fehlerhafte Behauptung von mir im Spiel. Jetzt muss ich gerade mal prüfen, ob das so nicht doch schiefgeht...
Ergebnis: Es scheint leider so doch schiefzugehen. Also muss man wohl doch eher mit der ersten Ungleichung arbeiten.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Di 09.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Cauchy,
> Sei f eine ganze Funktion. Es gebe c>0 und M>0, so dass für
> alle [mm]z\in\IC[/mm] gilt:
>
> [mm]|f(z)|e^{-c|z|}\le[/mm] M
>
> Folgern Sie hieraus für alle [mm]z\in\IC[/mm]
>
> [mm]|f'(z)|e^{-c|z|}\le[/mm] ceM
steht rechterhand bei der letzten Ungleichung eigentlich wirklich [mm] $c\cdot [/mm] e [mm] \cdot [/mm] M$?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Di 09.12.2008 | | Autor: | cauchy |
> steht rechterhand bei der letzten Ungleichung eigentlich
> wirklich [mm]c\cdot e \cdot M[/mm]?
>
Ja, das steht da.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:40 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Marcel |
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> > steht rechterhand bei der letzten Ungleichung eigentlich
> > wirklich [mm]c\cdot e \cdot M[/mm]?
> >
>
> Ja, das steht da.
>
> LG
mhm, komisch, ich hatte da gestern irgendwas mit [mm] $c*e^M$ [/mm] rausgehabt. Also so wirklich sehen tu' ich's noch nicht, wie das zustandekommt. Ich schätze mal, dass man die Cauchyschen Ungleichung benutzen und nachher entweder spezielle Werte für $r,R$ (evtl. gar [mm] $z_0$?) [/mm] einsetzen oder aber einen gewissen Grenzübergang machen muss...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Do 11.12.2008 | | Autor: | cauchy |
Trotzdem danke für deine Bemühungen.
Ich glaube, wir haben die Lösung auch hinbekommen:)
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