Cauchy Integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] \alpha [/mm] = 3exp(it). Berechne [mm] \int_\alpha \frac{cos(\pi z)}{z^2 - 1}dz. [/mm] |
Die Aufgabe stammt aus Freitag, Busam - Funktionentheorie.
Meine "Lösung" lautet
[mm] \int_\alpha \frac{cos(\pi z)}{z^2 - 1} [/mm] dz = [mm] \int_\alpha \frac{cos(\pi z)}{(z+1)(z-1)} [/mm] dz
= [mm] \int_\alpha \frac{\frac{cos(\pi z)}{z+1}}{z - 1} [/mm] dz = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] \frac{cos(\pi)}{1 + 1} [/mm] = [mm] -\pi [/mm] i,
aber im Lösungsteil des Buches steht, dass das Integral Null ist.
Das vorletzte Gleichheitszeichen ist die Cauchy Integralformel.
Kann mir jemand sagen wo mein Fehler ist?
Vielen Dank :)
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Hiho,
schau dir dein Integrationsgebiet mal an und deine Funktion $f(z) = [mm] \bruch{\cos(\pi z)}{z+1}$.
[/mm]
Was muss für deine Funktion innerhalb des Integrationsgebiets gelten?
Gilt das?
MFG,
Gono.
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Die Funktion f(z) = [mm] \frac{cos(\pi z)}{z+1} [/mm] hat an z = -1 eine Singularität.
Das wäre in Ordnung, wenn [mm] \lim_{z \rightarrow -1} [/mm] (z - (-1))f(z) = 0 wäre, es ist aber [mm] \lim_{z \rightarrow -1} [/mm] (z - (-1))f(z) = [mm] \lim_{z \rightarrow -1} \cos(\pi [/mm] z) = -1, und somit ist die Cauchysche Integralformel nicht anwendbar.
Das Integral verschwindet, da der Integrand überall ausser an den endlich vielen Stellen 1 und -1 holomorph ist, und wir über eine geschlossene Kurve integrieren die weder 1 noch -1 enthält.
Ist das so richtig? Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 20.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:44 Fr 17.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\alpha[/mm] = 3exp(it).
Ich nehme an, es lautet: [mm]\alpha(t)[/mm] = 3exp(it), t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]
[/mm]
> Berechne [mm]\int_\alpha \frac{cos(\pi z)}{z^2 - 1}dz.[/mm]
>
> Die Aufgabe stammt aus Freitag, Busam - Funktionentheorie.
> Meine "Lösung" lautet
>
> [mm]\int_\alpha \frac{cos(\pi z)}{z^2 - 1}[/mm] dz = [mm]\int_\alpha \frac{cos(\pi z)}{(z+1)(z-1)}[/mm]
> dz
>
> = [mm]\int_\alpha \frac{\frac{cos(\pi z)}{z+1}}{z - 1}[/mm] dz =
> [mm]2\pi[/mm] i [mm]\frac{cos(\pi)}{1 + 1}[/mm] = [mm]-\pi[/mm] i,
>
> aber im Lösungsteil des Buches steht, dass das Integral
> Null ist.
> Das vorletzte Gleichheitszeichen ist die Cauchy
> Integralformel.
>
> Kann mir jemand sagen wo mein Fehler ist?
Das hat Gono schon gemacht.
Sei [mm] f(z):=\frac{cos(\pi z)}{z^2 - 1}
[/mm]
f hat in 1 und in -1 jeweils einen Pol der Ordnung 1.
Berechne das Residuum von f in 1 und das Residuum von f in -1 .
Beachte dabei:
Hat f in a eine Polstelle 1. Ordnung, so, gilt: [mm] $Res_a [/mm] f = [mm] \lim_{z\rightarrow a} [/mm] (z-a)f(z)$
Jetzt kram den Residuensatz heraus.
FRED
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> Vielen Dank :)
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