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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Mo 15.05.2006 | | Autor: | susi2006 |
Hallo!
Ich würde gerne mit Hilfe der Cauchy-Integralformel zeigen, dass die Funktion:
[mm] f(z)=|z|=\wurzel{z\overline{z}} [/mm] NICHT holomorph ist.
Dazu habe ich mir einen Weg überlegt und ihn wie folgt parametrisiert:
[mm] a(t)=e^{it} \Rightarrow a'(t)=ie^{it} [/mm] mit [mm] t\in[0,2\pi]
[/mm]
Ich berechne folgendes Integral:
[mm] I=\integral_{|z|=1}^{}{f(z) dz} =\integral_{0}^{2\pi}{f(a(t))a'(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{1ie^{it} dt} [/mm] = (1-1)=0
Aber das Integral darf doch NICHT Null sein.
Wenn ich die Funktion g(z)=z mit dem gleichen Weg parametrisiere, kommt =0 heraus und die Funktion [mm] h(z)=\overline{z} [/mm] ebenfalls mit dem gleichen Weg parametrisiert ergibt [mm] 2i\pi [/mm] also [mm] \not=0. [/mm] Ich weiß nicht, wieso mein Integral hier Null ergibt.
Vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Mo 15.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Susi!
> Ich würde gerne mit Hilfe der Cauchy-Integralformel
> zeigen, dass die Funktion:
>
> [mm]f(z)=|z|=\wurzel{z\overline{z}}[/mm] NICHT holomorph ist.
>
> Dazu habe ich mir einen Weg überlegt und ihn wie folgt
> parametrisiert:
> [mm]a(t)=e^{it} \Rightarrow a'(t)=ie^{it}[/mm] mit [mm]t\in[0,2\pi][/mm]
>
> Ich berechne folgendes Integral:
>
> [mm]I=\integral_{|z|=1}^{}{f(z) dz} =\integral_{0}^{2\pi}{f(a(t))a'(t) dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{2\pi}{1ie^{it} dt}[/mm] = (1-1)=0
>
> Aber das Integral darf doch NICHT Null sein.
Natuerlich darf das Integral 0 sein. Es ist nur nicht fuer jeden Weg gleich 0, ansonsten waer die Funktion holomorph.
Du musst also einen anderen Weg nehmen. Du kannst ja folgenden stueckweise definierten Weg nehmen:
- erst die Verbindungsgerade 0 bis i,
- dann die Verbindungsgerade i bis 1,
- dann die Verbindungsgerade 1 bis 0.
Versuchs mal damit.
Oder integriere ueber einen Kreis, dessen Mittelpunkt nicht gleich 0 ist...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Mo 15.05.2006 | | Autor: | susi2006 |
Hallo!
Kann man eigentlich auch so argumentieren: Ich weiß, dass [mm] f(z)=\overline{z} [/mm] nicht holomorph ist. Somit kann jede Komposition mit [mm] \overline{z} [/mm] wie z.B.
[mm] g(z)=|z|=\wurzel{z\overline{z}} [/mm] oder [mm] h(z)=z^{n}\overline{z} [/mm] , [mm] n\in\IN l(z)=e^{\overline{z}} [/mm] usw. nicht holomorph sein?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Mo 15.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Kann man eigentlich auch so argumentieren: Ich weiß, dass
> [mm]f(z)=\overline{z}[/mm] nicht holomorph ist. Somit kann jede
> Komposition mit [mm]\overline{z}[/mm] wie z.B.
>
> [mm]g(z)=|z|=\wurzel{z\overline{z}}[/mm] oder [mm]h(z)=z^{n}\overline{z}[/mm]
> , [mm]n\in\IN l(z)=e^{\overline{z}}[/mm] usw. nicht holomorph sein?
Das stimmt nicht ganz, z.B. kannst du [mm] $\overline{z}$ [/mm] mit der Nullfunktion verketten, dann kommt 0 heraus und das ist wieder holomorph... Wenn du es aber so verkettest das du durch Verketten mit einer weiteren holomorphen Funktion die Funktion zurueckbekommen kannst, dann ist es nicht holomorph!
LG Felix
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