Cauchy Konvergenzkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Reihe [mm] \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!}, [/mm] also die Folge [mm] (b_n)_{n\in N_0} [/mm] der Partialsummen [mm] b_n:=\sum_{i=0}^n \frac{1}{i!}, n\in [/mm] N.
Zeigen Sie, dass [mm] b_n [/mm] in den reellen Zahlen konvergent ist. |
Hallo zusammen. Ich komme hier irgendwie nicht so richtig ans rechnen. Ich habe das Problem, dass ich nicht weiß wie, wo und womit ich anfangen soll. Wenn ich mir die Folge angucke, müsste sie doch eigentlich gegen e konvergieren oder? Aber hilft mir das überhaupt?
Danke für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Do 26.11.2009 | | Autor: | Amorosobwh |
Sorry, habe vergessen! Mein Dozent gab uns den Tip, dass wir das mit dem Cauchyschen Konvergenzkriterium zeigen können!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Do 26.11.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo Amorosobh,
für den Nachweis der Konvergenz von Reihen gibt es verschiedene Kriterien, die nicht voraussetzen, dass man den Grenzwert kennt.
Die angegebene Reihe ist ein Paradebeispiel für das Quotientenkriterium.
Gruß
Uli
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Da hatte ich auch schon dran gedacht. Aber-bitte Fehler verbessern...- das würde doch so aussehen:
[mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!}{n!}=\frac{n!\cdot (n+1)}{n!}=(n+1)
[/mm]
Und das ist doch dann [mm] >\theta<1.
[/mm]
Das wäre doch dann ein Widerspruch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Do 26.11.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo Amorosobwh,
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{(n+1)!}}{\bruch{1}{n!}}, [/mm] bitte selber weiterrechnen.
Gruß
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Do 26.11.2009 | | Autor: | Amorosobwh |
Oh, mein Gott...
Jetzt hat es Klick gemacht... Tausend Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Fr 27.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Noch ein Weg:
Klar dürfte sein, dass [mm] (b_n) [/mm] wachsend ist.
Weiter:
$0 [mm] \le b_n [/mm] = [mm] 1+1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2*3}+ [/mm] ...+ [mm] \bruch{1}{2*3*...*n} \le$
[/mm]
[mm] $1+1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2^2}+ [/mm] ...+ [mm] \bruch{1}{2^{n-1}}= 1+\bruch{1-(1/2)^n}{1-1/2}= 1+2(1-(1/2)^n) \le [/mm] 1+2 = 3$
Somit ist [mm] (b_n) [/mm] auch beschränkt
FRED
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