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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
[mm] \sum_{n,m=0}^{ \infty} (-2)^n * x^{n+m}[/mm]
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Hi, also das Cauchy Produkt bereitet mir wirklich Probleme.
Innerhalb der Vorlesung hatten wir wirklich wenig Uebungen dazu, so, dass ich es nicht so wirklich verstehe.
Ich weiss, dass das Cauchy Produkt wie folgt definiert ist:
[mm] c_{n} = \sum_{k=0}^{n} a_k*b_{n-k}[/mm]
Bedeutet also, dass das Cauchy Produkt einfach nur beide Faktoren in der Ursprungsreihe multipliziert mit eine Veraenderung der Indizes, richtig?
So ich haette jetzt gesagt:
Faktor 1: [mm](-2)^n[/mm]
Faktor 2: [mm]x^{n+m}[/mm]
Ist das soweit korrekt? Zwei Probleme stellen sich mir hier: n+m und das x.
Was ich mit dem x mache, weiss ich nicht. Das n + m wird laut Loesung durch k substituiert, also: k = n+m. Das x wird wie folgt "herausgenommen":
[mm] \sum_{k=0}^{ \inftyn} c_k * x^k mit c_k = \sum_{l=0}^{k} a_l * b_{k-l}
Der Unterschied hier in der Musterloesung ist, dass die Bennenung der Indizes geaendert wurde - nicht weiter schlimm. [/mm]
So weiter heisst es in der Musterloesung:
[mm]= \sum_{l=0}^{k} (-2)^k * 1^{k-l} [/mm]
Den Rest der Musterloesung erspare ich mir hier, da ich erstmal das hier verstehen moechte.
Wie kommt man auf die 1? Wurde das x einfach herausgezogen, so dass nur noch die Potenz uebrig bleibt?
Was ist mit den Indizes in der Potenz? k = n+m (laut Substitution) das wuerde aber bedeuten, dass ueber der (-2) ebenfalls ein n+m steht und nicht wie urspruenglich nur ein n - richtig?
Die Potenz ueber der "1" wird dann einfach durch k-l laut Cauchy Produkt ersetzt. Ist das richtig?
Ich hab mir haufenweise Gedanken dazu gemacht, komme aber auf keinen gruenen Zweig. Waere wirklich sehr schoen, wenn mir jemand helfen koennte das Cauchy Produkt zu verstehen, da ich echt maechtig Zeit im moment an Gedankengaengen verliere, die nicht wirklich zu einem Ergebnis kommen.
Tausend Dank bereits im voraus und entschuldigt meine vielleicht dumme Frage!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:36 Fr 28.06.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo evilmaker,
für Konvergenzuntersuchungen ist das Cauchyprodukt nicht hilfreich, da es Konvergenz bestimmter Reihen voraussetzt aber nicht zeigt.
Hier haben wir es vielmehr mit einem zweidimensionalen Indexbereich zu tun, nämlich [mm] $\IN\times\IN$ [/mm] und Konvergenzfragen hierzu werden in der Theorie summierbarer Familien untersucht. So eine Reihe ist genau dann konvergent, wenn die Partialsummen der Absolutglieder über endliche Teilmengen des Indexbereichs beschränkt sind. In diesem Fall bedeutet das: Es gibt eine obere Schranke $S$ so, daß für jede endliche Teilmenge [mm] ${E}\subset \IN\times\IN$
[/mm]
[mm] $\sum_{(m, n)\in E} 2^n |x|^{m+n} [/mm] < S$
gilt. Und jetzt überlege mal, für welche $x$ die Partialsummen eine gemeinsame obere Schranke haben.
liebe Grüße,
Wolfgang
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