Cauchy'sches Integral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:48 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Wolve |
| Aufgabe | Seien [mm] $\alpha, \beta \in \IC$ [/mm] mit $ [mm] |\alpha| \le |\beta|$, [/mm] sei $R [mm] \in \IR_{+}^{x} \backslash \{|\alpha|;|\beta|\}$ [/mm] und die Funktion f sei holomorph in [mm] \overline{K_{R}(0)}$. [/mm]
Definiere [mm] $I(\alpha, \beta) [/mm] := [mm] \integral_{\partial K_{R}(0)}{\bruch{f(z)}{(z-\alpha)(z-\beta)} dz}.
[/mm]
a) Berechnen Sie [mm] $I(\alpha, \beta)$ [/mm] für [mm] $\alpha \not= \beta$ [/mm] (Hinweis: Fallunterscheidung, Partialbruchzerlegung)
b) Sei nun [mm] $|\alpha| \le |\beta| |
Schönen guten Tag,
An dieser Aufgabenstellung scheitert bei meinen Kommilitonen und mir unser Skript-basiertes Wissen.
Was aus meiner Sicht Sinn macht, wegen dem Tipp der Partialbruchzerlegung, sollte man versuchen sich an die Cauchy'sche Integralformel für Kreisscheiben hinzuarbeiten:
$f(z) = [mm] \bruch{1}{2\pi i} \integral_{K_{r}(z_0)}{\bruch{f(\delta)}{\delta - z} d\delta}$.
[/mm]
Meine Idee, sofern sie nur ansatzweise richtig ist wäre
[mm] $\bruch{f(z)}{(z-\alpha)(z-\beta)}=\bruch{g_1(z)}{z-\alpha}+\bruch{g_2(z)}{z-\beta}$ [/mm] und somit
[mm] $\integral_{\partial K_{R}(0)}{\bruch{g_1(z)}{(z-\alpha)} dz}+\integral_{\partial K_{R}(0)}{\bruch{g_2(z)}{(z-\beta)} dz}= 2\pi [/mm] i [mm] (g_1(\alpha) [/mm] + [mm] g_2(\beta))$
[/mm]
Jedoch fehlt hierbei auch die Fallunterscheidung, wodurch ich an der Richtigkeit meiner Idee zweifle.
Wenn mir jemand den richtigen Ansatz sagen könnte oder meinen Fehler wäre ich sehr dankbar.
Teilaufgabe b) ist moment irrelevant, da die Lösung von a) mir da wohl weiterhelfen wird.
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:37 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]$\alpha, \beta \in \IC$[/mm] mit $ [mm]|\alpha| \le |\beta|$,[/mm]
> sei $R [mm]\in \IR_{+}^{x} \backslash \{|\alpha|;|\beta|\}$[/mm] und
> die Funktion f sei holomorph in [mm]\overline{K_{R}(0)}$.[/mm]
> Definiere [mm]$I(\alpha, \beta)[/mm] := [mm]\integral_{\partial K_{R}(0)}{\bruch{f(z)}{(z-\alpha)(z-\beta)} dz}.[/mm]
>
> a) Berechnen Sie [mm]I(\alpha, \beta)[/mm] für [mm]\alpha \not= \beta[/mm]
> (Hinweis: Fallunterscheidung, Partialbruchzerlegung)
>
> b) Sei nun [mm]$|\alpha| \le |\beta|
> [mm]$I(\alpha, \alpha)$[/mm] und vergleichen Sie das Ergebnis mit
> dem Grenzwert [mm]$\limes_{\beta\rightarrow\alpha} I(\alpha, \beta).[/mm]
>
> Schönen guten Tag,
> An dieser Aufgabenstellung scheitert bei meinen
> Kommilitonen und mir unser Skript-basiertes Wissen.
>
> Was aus meiner Sicht Sinn macht, wegen dem Tipp der
> Partialbruchzerlegung, sollte man versuchen sich an die
> Cauchy'sche Integralformel für Kreisscheiben
> hinzuarbeiten:
> [mm]f(z) = \bruch{1}{2\pi i} \integral_{K_{r}(z_0)}{\bruch{f(\delta)}{\delta - z} d\delta}[/mm].
Das gilt nur, wenn [mm] $|z-z_0|
Wie fällt [mm] \integral_{K_{r}(z_0)}{\bruch{f(\delta)}{\delta - z} d\delta} [/mm] aus für [mm] $|z-z_0|>r [/mm] $ ?
Wenn Du das hast, so unterscheide die Fälle:
1. [mm] |\alpha|, |\beta|>R
[/mm]
2. [mm] |\alpha|, |\beta|
3. [mm] |\alpha|R
[/mm]
4. [mm] |\alpha|,>R [/mm] , [mm] |\beta|
FRED
>
>
> Meine Idee, sofern sie nur ansatzweise richtig ist wäre
>
> [mm]\bruch{f(z)}{(z-\alpha)(z-\beta)}=\bruch{g_1(z)}{z-\alpha}+\bruch{g_2(z)}{z-\beta}[/mm]
> und somit
> [mm]\integral_{\partial K_{R}(0)}{\bruch{g_1(z)}{(z-\alpha)} dz}+\integral_{\partial K_{R}(0)}{\bruch{g_2(z)}{(z-\beta)} dz}= 2\pi i (g_1(\alpha) + g_2(\beta))[/mm]
>
> Jedoch fehlt hierbei auch die Fallunterscheidung, wodurch
> ich an der Richtigkeit meiner Idee zweifle.
>
> Wenn mir jemand den richtigen Ansatz sagen könnte oder
> meinen Fehler wäre ich sehr dankbar.
>
>
>
> Teilaufgabe b) ist moment irrelevant, da die Lösung von a)
> mir da wohl weiterhelfen wird.
>
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Wolve |
Danke für die Hilfe. Leider hatten wir das noch nicht mit für [mm] $|z-z_0|>r$, [/mm] bzw. kann ich es aus meinem Skriptum nicht ableiten.
Ob man das mit der Potenzreihenentwicklung löst? Soweit sind wir schon und werden damit fortfahren morgen... mal sehen, ob wir dann das Passende dazu machen (obwohl angesprochen wurde, dass wir für die Übung bereits alles nötige wissen müssten).
Ansonsten weiß ich dennoch nicht wie ich weitermachen soll...
Beste Grüße
Hendrik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 Di 07.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Hilfe. Leider hatten wir das noch nicht mit
> für [mm]|z-z_0|>r[/mm], bzw. kann ich es aus meinem Skriptum nicht
> ableiten.
aber sicher kannst Du das: Cauchyscher Integralsatz
FRED
>
> Ob man das mit der Potenzreihenentwicklung löst? Soweit
> sind wir schon und werden damit fortfahren morgen... mal
> sehen, ob wir dann das Passende dazu machen (obwohl
> angesprochen wurde, dass wir für die Übung bereits alles
> nötige wissen müssten).
>
> Ansonsten weiß ich dennoch nicht wie ich weitermachen
> soll...
>
> Beste Grüße
> Hendrik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Di 07.12.2010 | | Autor: | Wolve |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
Also $\bruch{1}{2\pi i}\integral_{K_{r}(z_0)}{\bruch{f(\delta)}{\delta - z} d\delta} $ mit $ |z-z_0|>r $ muss natürlich 0 sein. Bin da etwas auf dem Schlauch gestanden.
Wenn ich also mit Partialbruchzerlegung den Ausdruck aufdrösele kann ich eben auch damit die entsprechenden Teile wo $ |z-z_0|>r $ erfüllt ist, gleich 0 setzen. Jedoch habe ich Schwierigkeiten mit der Partialbruchzerlegung an sich.
$\bruch{f(z)}{(z-\alpha)(z-\beta)} = \bruch{a}{z-\alpha} + \bruch{b}{z-\beta}$
Mithilfe der Zuhaltemethode bin ich auf folgendes gekommen...
$\bruch{f(z)}{z-\beta} = a + \bruch{b(z-\alpha)}{z-\beta}$ mit $z=\alpha$ \Rightarrow $a=\bruch{f(\alpha)}{\alpha - \beta}$
$\bruch{f(z)}{z-\alpha} = \bruch{a(z-\beta)}{z-\alpha} + b$ mit $z=\beta$ \Rightarrow $b=\bruch{f(\beta)}{\beta - \alpha}$
Somit komme ich auf $\bruch{f(z)}{(z-\alpha)(z-\beta)}$ = $\bruch{f(\alpha)}{(\alpha -\beta)(z-\alpha)} + \bruch{f(\beta)}{(\alpha -\beta)(z-\beta)}$ = $-\bruch{f(\alpha)}{(\alpha -\beta)(\alpha -z)} + \bruch{f(\beta)}{(\beta -\alpha)(\beta -z)}$
Und habe somit wieder den gleichen Aufbau, wie im Ausgleichsterm...
Da ich aber nach z integriere habe ich folgende Konstellation:
$I(\alpha ,\beta) := \integral_{K_{R}(0)}{-\bruch{f(\alpha)}{(\alpha -\beta)(\alpha -z)} + \bruch{f(\beta)}{(\beta -\alpha)(\beta -z)}dz}$ = $\integral_{K_{R}(0)}{-\bruch{f(\alpha)}{(\alpha -\beta)(\alpha -z)}dz + \integral_{K_{R}(0)}{\bruch{f(\beta)}{(\beta -\alpha)(\beta -z)}dz}$ = $-\bruch{f(\alpha)}{\alpha -\beta}\integral_{K_{R}(0)}{\bruch{1}{\alpha - z}dz + \bruch{f(\beta)}{\beta -\alpha}\integral_{K_{R}(0)}{\bruch{1}{\beta -z}dz$
Ist es soweit noch richtig oder ist da schon irgendwo der Wurm drin?? Da ich aber hier nicht mehr wüsste wie ich weiter vorgehen soll, befürchte ich, dass da schon irgendo der Wrum drin ist.
Gruß
Hendrik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Das war Dein Ansatz:
$ [mm] \bruch{f(z)}{(z-\alpha)(z-\beta)} [/mm] = [mm] \bruch{a}{z-\alpha} [/mm] + [mm] \bruch{b}{z-\beta} [/mm] $
Das ist doch völliger Blödsinn !
Richtiger Ansatz:
$ [mm] \bruch{1}{(z-\alpha)(z-\beta)} [/mm] = [mm] \bruch{a}{z-\alpha} [/mm] + [mm] \bruch{b}{z-\beta} [/mm] $
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:59 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Wolve |
| Aufgabe | Seien [mm] $\alpha, \beta \in \IC$ [/mm] mit [mm] $|\alpha| \le |\beta|$, [/mm] sei [mm] $R\in \IR_{+}^{x} \backslash \{|\alpha|;|\beta|\}$ [/mm] und die Funktion f sei holomorph in [mm] \overline{K_{R}(0)}$.
[/mm]
Definiere [mm] $I(\alpha, \beta) [/mm] := [mm] \integral_{\partial K_{R}(0)}{\bruch{f(z)}{(z-\alpha)(z-\beta)} dz}.
[/mm]
a) Berechnen Sie [mm] $I(\alpha, \beta)$ [/mm] für [mm] $\alpha \not= \beta$ [/mm] (Hinweis: Fallunterscheidung, Partialbruchzerlegung)
b) Sei nun [mm] $|\alpha| \le |\beta| |
Danke für den Hinweis, werde es mir in Zukunft merken den Ausdruck $f(z)$ auszuklammern, vor der Partialbruchzerlegung...
(a)
Partialbruchzerlegung:
[mm] $\bruch{1}{(z-\alpha)(u-\beta)}$ [/mm] = [mm] $\bruch{A}{z-\alpha}+\bruch{B}{z-\beta}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{z-\beta}$ [/mm] = $A + [mm] \bruch{B}{z-\beta}(z-\alpha)$ [/mm] mit [mm] $z=\alpha$ [/mm] folgt [mm] $A=\bruch{1}{\alpha -\beta}$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{z-\alpha}$ [/mm] = [mm] $\bruch{A}{z-\alpha}(z-\beta) [/mm] + B$ mit [mm] $z=\beta$ [/mm] folgt [mm] $B=\bruch{1}{\beta -\alpha}$
[/mm]
[mm] \Rightarrow $\bruch{1}{(z-\alpha)(z-\beta)}$ [/mm] = [mm] $\bruch{1}{(z-\alpha)(\alpha -\beta)}+\bruch{1}{(z-\beta)(\beta -\alpha)}$
[/mm]
[mm] $\integral_{\partial K_{R}(0)}{\bruch{f(z)}{(z-\alpha)(z-\beta)} dz}$ [/mm] = [mm] $\integral_{\partial K_{R}(0)}\bruch{f(z)}{(z-\alpha)(\alpha -\beta)}+\bruch{f(z)}{(z-\beta)(\beta -\alpha) dz}$ [/mm] = [mm] $(\alpha -\beta)\integral_{\partial K_{R}(0)}{\bruch{f(z)}{(z-\alpha)}dz} [/mm] - [mm] (\alpha -\beta)\integral_{\partial K_{R}(0)}{\bruch{f(z)}{(z-\beta)} dz}$ [/mm] = [mm] $(\alpha -\beta)[\integral_{\partial K_{R}(0)}{\bruch{f(z)}{(z-\alpha)}dz} [/mm] - [mm] \integral_{\partial K_{R}(0)}{\bruch{f(z)}{(z-\beta)} dz}]$
[/mm]
Hier dann die Fallunterscheidung:
1. [mm] $|\alpha|,|\beta|>R$
[/mm]
... = 0, da [mm] $|\alpha-0|>R$ [/mm] und [mm] $|\beta-0|>R$ [/mm]
(da meine Formel ja nur für [mm] $|z-z_{0}|r$ [/mm] gleich 0 ist)
2. [mm] $|\alpha|,|\beta|
... = [mm] $(\alpha -\beta)[(2\pi [/mm] i) [mm] f(\alpha) [/mm] - [mm] (2\pi [/mm] i) [mm] f(\beta)]$ [/mm] = [mm] $2\pi [/mm] i [mm] (\alpha -\beta)(f(\alpha)-f(\beta))$ [/mm]
(Da meine Formel hier durch [mm] $|z-z_{0}|
3. [mm] $|\alpha|R$
[/mm]
... = [mm] $2\pi i(\alpha -\beta)f(\alpha) [/mm] - [mm] 2\pi(\alpha -\beta)0$ [/mm] = [mm] $2\pi i(\alpha -\beta)f(\alpha)$
[/mm]
4. [mm] $|\alpha|>R$, $|\beta|
Ist irrelevant, wegen [mm] $|\alpha| \le |\beta|$ [/mm] aus der Angabe.
(b)
Als erstes versuche ich [mm] $I(\alpha, \alpha)$ [/mm] zu berechnen.
Partialbruchzerlegung hat keinen Sinn gehabt, kamen nur komische Ergebnisse raus, aber irgendwie hat für mich die Cauchy'sche Integralformel für die Ableitungen Sinn gemacht:
Da f holomorph ist, was bereits Vorraussetzung für die Cauchy'sche Integralformel für Kreisscheiben ist, gilt auch:
[mm] $f^{(n)}(z) [/mm] = [mm] \bruch{n!}{2\pi i}\integral_{\partial K_{r}(z_{0})}{\bruch{f(\delta)}{(\delta -z)^{n+1}} dz}$ \Rightarrow $\bruch{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z)$ [/mm] = [mm] $\integral_{\partial K_{r}(z_{0})}{\bruch{f(\delta)}{(\delta -z)^{n+1}} dz}$
[/mm]
und mit n=1 sieht es genauso aus, wie mein Ausgangsterm:
[mm] $\integral_{\partial K_{R}(z_{0})}{\bruch{f(z)}{(z-\alpha)^{1+1}} dz}$ [/mm] = [mm] $\bruch{2\pi i}{1!}f^{(1)}(\alpha)$ [/mm] = [mm] $2\pi [/mm] i [mm] f^{(1)}(\alpha)$
[/mm]
Nun der Grenzwert [mm] $\limes_{\beta\rightarrow\alpha} I(\alpha, \beta)$:
[/mm]
Hier ist zwar nicht gegeben, dass [mm] $\alpha \not= \beta$, [/mm] jedoch führt das wieder zurück zu [mm] $I(\alpha, \alpha)$, [/mm] somit wende ich meinen Fall 2 aus (a) an:
[mm] $\limes_{\beta\rightarrow\alpha} 2\pi [/mm] i [mm] \underbrace{(\alpha -\beta)}_{\to 0} \underbrace{(f(\alpha)-f(\beta))}_{\to 0} [/mm] = 0$
Ist da noch irgendwo der Wurm drin?
Beste Grüße
Hendrik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Fr 10.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:16 Di 14.12.2010 | | Autor: | Wolve |
Grad noch vor der Abgabe entdeckt, dass ich falsch ausgeklammert habe und ich überall [mm] $(\alpha -\beta)$ [/mm] mit [mm] $\bruch{1}{(\alpha -\beta)}$ [/mm] ersetzen muss, dies aber sonst nichts an den Lösungen ändert, bis auf den Limes, den ich mit L'Hospital auf das gleiche Ergebnis bringen kann, wie mit der Variante von [mm] I(\alpha ,\alpha).
[/mm]
Danke für die Ideen und Anweisungen, ohne diese wäre ich nicht soweit gekommen... :)
Gruß
Hendrik
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