Cauchyfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Fr 02.12.2005 | | Autor: | Willi |
Hey Leute,
brauch nochmal dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:
Zeigen Sie direkt (ohne Resultate aus der Vorlesung zu verwenden), dass die Teilsummenfolge [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^{2}} [/mm] eine Cauchy folge ist. (Hinweis: i=i+1-1)
So, wie muss ich da jetzt rangehen?
Bin leicht verwirrt, muss ich hier die Definition der Cauchyfolge (Eine Folge heißt Cauchyfolge [mm] \gdw \forall \varepsilon>0 \exists [/mm] No [mm] \inN: \forallm,n \ge [/mm] No: |am-an|< [mm] \varepsilon) [/mm] anwenden oder das Cauchykriterium?
Weiß leider zu beiden Definitionen keinen Ansatz, bitte daher dringend um Hilfe. DANKE.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Zunächst mal zu den Begriffen: Den Begriff der Cauchy-Folge hast du in deiner Frage richtig definiert. Das Konzept von Cauchy-Folgen hat einen großen Vorteil: Aufgrund der Tatsache, dass jede Cauchyfolge in einem vollständigen Raum (wie das die Menge der reellen Zahlen bekanntlich ist) einen Grenzwert besitzt, genügt es bei einer Folge reeller Zahlen bereits zu zeigen dass sie Cauchy-Folge ist um auf ihre Konvergenz schließen zu können. Was ist der Vorteil im Vergleich dazu, direkt die Konvergenz nachzuweisen? Der Vorteil liegt klar auf der Hand: Um Konvergenz direkt nachzuweisen, muss man bereits eine Vermutung über den Grenzwert haben. Um hingegen zu zeigen, dass eine Folge Cauchy-Folge ist, braucht man das nicht. Wie Du siehst, treten in der Definition von Cauchy-Folgen nur die Folgenglieder selbst auf, nicht aber der Grenzwert der Folge.
Das "Cauchy-Kriterim" für Reihen ist nichts anderes als die Tatsache, dass jede Cauchyfolge in R konvergiert: Denn du betrachtest die Reihe einfach als Folge von Partialsummen und zeigst, dass diese Folge eine Cauchy-Folge ist. Mit der Vollständigkeit der Menge der reellen Zahlen hast du dann die Konvergenz.
Was du konkret machen sollst: Du sollst zeigen, dass die Folge von Partialsummen
[mm] a_n := \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i^2} [/mm]
eine Cauchyfolge ist. Du betrachtest also fuer [mm] n > m [/mm] die Differenz
[mm] |a_n - a_m| = \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i^2} - \sum\limits_{i=1}^m \frac{1}{i^2} = \sum\limits_{i=m+1}^n \frac{1}{i^2} [/mm]
und zeigst, dass diese beliebig klein wird, wenn nur [mm] n [/mm] gross genug wird. Dazu kannst du dann den Hinweis verwenden, welcher in der Aufgabe gegeben ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Mitch |
Hey Luckyguy deine Erklärung finde ich schonmla ganz gut!
Aber wie verwendet man nun den Hinweis aus der Aufgabenstellung?
Man könnte natürlich für i den Hinweis (i+1-1) einsetzen und hätte im Nenner [mm] (i+1-1)^2 [/mm] stehen, dann hätte man die Reihe $ [mm] \sum\limits_{i=m+1}^n \frac{1}{i^2+2i-2i+2-2} [/mm] $
Aber was bringt einem das?
Man könnte doch auch einfach das Quotientenkriterium anwenden und man würde sehen, dass die Reihe konvergiert, undzwar gegen 0...
Kann mir jemand mal den letzten Schritt erläutern?
Gruß Mitch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Willi |
Hey Luckyguy77,
Du hattest mir folgendes geschrieben:
Du sollst zeigen, dass die Folge von Partialsummen [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^{2}} [/mm] eine Cauchyfolge ist.
Du betrachtest also fuer n>m die Differenz [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^{2}} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{m} \bruch{1}{i^{2}} [/mm] = [mm] \summe_{i=m+1}^{n} \bruch{1}{i^{2}}
[/mm]
und zeigst, dass diese beliebig klein wird, wenn nur gross genug wird. Dazu kannst du dann den Hinweis verwenden, welcher in der Aufgabe gegeben ist.
Nun hab ich folgendes mit dem Hinweis angefangen:
[mm] \summe_{i=m+1}^{n} \bruch{1}{i^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(i+1-1)^{2}} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{(i+1)^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1^{2}} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{i^{2} +2i +1} [/mm] -1 = [mm] \bruch{1}{i^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2i} [/mm]
Hab ich das so richtig umgeformt?
Kann ich nicht jetzt sagen das beide Brüch für i gegen [mm] \infty [/mm] (oder doch n gegen [mm] \infty?) [/mm] gegen null konvergieren, dass also [mm] \summe_{i=m+1}^{n} \bruch{1}{i^{2}} [/mm] gegen null konvergiert?
Bin ich dann schon fertig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Mira1 |
Hallo Willi!
Die Anwendung des "Tricks" ist so nicht richtig. Du fügst durch addieren und subtrahieren der 1 eigentlich nichts ein, da es sich ja aufhebt. (addirenen der 0) Darum kannst du nicht einfach das Summenzeichen weglassen und nur noch Bruch betrachten.
Auch die weiteren Umformungen sind glaube ich nicht ganz richtig...
Aber ich weiß leider auch nicht, wie man hier weiter macht. Ich bearbeite die gleiche Aufgabe und hänge an der gleichen Stelle.
Lg Mira
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Mitch |
Hey Willi ich komme zwar auch nicht auf den richtige Lösungsweg, aber deine Umformung ist auf jeden Fall falsch!
Der Bruch $ [mm] \bruch{1}{(i+1-1)^{2}} [/mm] $ ist nicht gleich $ [mm] \bruch{1}{(i+1)^{2}} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{1}{1^{2}} [/mm] $ !!!
Lösungsweg weiter offen....!
Gruß Mitch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:39 So 04.12.2005 | | Autor: | Mitch |
Hey Luckyguy deine Erklärung finde ich schonmla ganz gut!
Aber wie verwendet man nun den Hinweis aus der Aufgabenstellung?
Man könnte natürlich für i den Hinweis (i+1-1) einsetzen und hätte im Nenner $ [mm] (i+1-1)^2 [/mm] $ stehen, dann hätte man die Reihe $ [mm] \sum\limits_{i=m+1}^n \frac{1}{i^2+2i-2i+2-2} [/mm] $
Aber was bringt einem das?
Man könnte doch auch einfach das Quotientenkriterium anwenden und man würde sehen, dass die Reihe konvergiert, undzwar gegen 0...
Kann mir jemand mal den letzten Schritt erläutern?
Gruß Mitch
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Hallo Mitch,
entschuldige die verspätete Rückmeldung, aber wegen technischer Probleme konnte ich gestern nicht antworten.
Zu deiner Frage: Was noch zu zeigen ist, ist dass die Summe [mm] \sum\limits_{i=m+1}^{n} \frac{1}{i^2}[/mm] klein wird, wenn nur [mm]m[/mm] und [mm]n[/mm] gross genug werden. Denn dann hast du gezeigt, dass die Folge eine Cauchy-Folge ist. Dazu verwendest du jetzt den Hinweis, zum Beispiel wie folgt: Mit [mm] i^2 = i(i+1-1) \ge i(i-1)[/mm] gilt [mm]\frac{1}{i^2} \le \frac{1}{i(i-1)}[/mm]. Die Reihe
[mm] \sum\limits_{i=m+1}^n \frac{1}{i(i-1)}[/mm]
ist eine Teleskopreihe, denn es gilt [mm] \frac{1}{i(i-1)} = \frac{1}{i-1} - \frac{1}{i}[/mm]. Damit treten in der Reihe Kürzungseffekte auf, und es bleiben nur das erste und das letzte Glied der Reihe übrig. Somit erhälst du
[mm] \sum\limits_{i=m+1}^n \frac{1}{i^2} \le \sum\limits_{i=m+1}^n \left(\frac{1}{i-1} - \frac{1}{i}\right) = \frac{1}{m} - \frac{1}{n} = \frac{n-m}{nm}[/mm].
Der letzte Ausdruck wird beliebig klein, wenn nur die Schranke für [mm]m,n[/mm] gross genug wird.
Damit ist gezeigt, dass die Folge eine Cauchy-Folge ist.
Zu deiner anderen Bemerkung: Natürlich könntest du bei dieser Reihe mit dem Quotientenkriterium auch die Konvergenz beweisen. Aber das was ja in der Aufgabe nicht verlangt.
Alles klar?
Gruss Jens
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