Cauchyfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Fr 03.12.2010 | | Autor: | ehaefner |
| Aufgabe | Es sei [mm] (a_n)_n_\in_\IN [/mm] eine Cauchyfolge reeller Zahlen und [mm] f : \IR \to \IR [/mm] eine stetige Funktion.
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (f(a_n))_n_\in_\IN [/mm] eine Cauchyfolge ist. |
Ich glaube ich habe eine Lösung für die Aufgabe, aber sie erscheint mir irgendwie zu einfach. Und da ich zur Zeit mit Analysis noch sehr große Schwierigkeiten habe, bin ich noch nicht sicher ob ich bei meiner Lösung alles berücksichtigt habe. Es wäre deshalb schön wenn mal jemand drüber schauen würde, und mir Verbesserungsmöglichkeiten/Fehler aufzeigen würde! Schon mal Danke!
Begonnen habe ich, in dem ich erstmal die Definition für eine Cauchyfolge und die Definition der Stetigkeit aufgeschrieben habe und das dann in Beziehung gesetzt habe.
Also
1) Definition einer Cauchyfolge:
zu jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 existiert ein [mm] N\in\IN [/mm] mit [mm] \left|x_n-x_m\right| <\epsilon [/mm] für alle n,m [mm] \geq [/mm] N
2)Definition der Stetigkeit
zu jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 existiert ein [mm] \delta [/mm] > 0 mit [mm] \left|x-x_0\right| <\delta \Rightarrow \left|f(x)-f(x_0)\right| <\epsilon [/mm] für alle x [mm] \in\IR
[/mm]
Als nächstes hab ich mir Zusammenhänge überlegt. Und dabei ist mir aufgefallen, dass ja bei der Cauchyfolge um eine Umgebung auf der x-Achse geht, da ich mir ja die Folgenglieder anschaue.
Und bei der Stetigkeit ist meine Umgebung um [mm] \delta [/mm] ja auch auf der x-Achse gelegen.
Da der Name des Index in meinen Augen egal ist kann ich ja das [mm] \epsilon [/mm] in der ersten Definition umbenennen in [mm] \delta [/mm] und habe dann folgendes da stehen:
[mm] \left|x_n-x_m\right| <\delta
[/mm]
Wenn ich jetzt nun die Definitionen miteinander "verbinde" kann ich doch folgendes schreiben:
zu jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 existiert ein [mm] \delta [/mm] zu welchem ein N existiert mit
[mm] \left|x_n-x_m\right| <\delta \Rightarrow \left|f(x_n)-f(x_m)\right| <\epsilon [/mm] für alle n,m [mm] \geq [/mm] N [mm] \Rightarrow (f(x_n))_n_\in_\IN [/mm] ist Cauchyfolge.
Kann ich das so schreiben, oder hab ich irgendwo einen Denkfehler gemacht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Fr 03.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein du hast gut die Stetigkeit und Cauchyfolge verbunden.
Du sollst nur noch in der endformulierung klar sagen, wo du welche Definition benutzt:
also ...folgt aus [mm] x_n [/mm] Cauchyf. ....folgt aus f stetig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Sa 04.12.2010 | | Autor: | ehaefner |
Wow, ein blindes Huhn wie ich trifft anscheindend auch mal ein Korn, hätte ich nicht gedacht...
Vielen Dank für Deine Antwort.
Meinst Du das mit der Forrmulierung ungefähr so?
Wenn [mm] (f(x_n))_n_\in\IN [/mm] Cauchyfolge sein soll, muss gelten: zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] N\in\IN [/mm] mit [mm] \left|f(x_n)-f(x_m)\right| <\epsilon [/mm] für alle n,m [mm] \geq [/mm] N
Wir wissen f ist stetig und damit gilt:
zu jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 existiert ein [mm] \delta [/mm] > 0 mit [mm] \left|x-x_0\right| <\delta \Rightarrow \left|f(x)-f(x_0)\right| <\epsilon [/mm] für alle x [mm] \in\IR [/mm]
[mm] \left|f(x)-f(x_0)\right| <\epsilon [/mm] ist aber genau das, was für eine Cauchyfolge gelten muss, und da dies für alle x [mm] \in\IR [/mm] gilt, gilt dies insbesondere nicht nur für x und [mm] x_0, [/mm] sondern auch für ein [mm] x_n [/mm] und [mm] x_m, [/mm] mit n,m [mm] \geq N\in\IN [/mm] . Also ist [mm] (f(x_n))_n_\in\IN [/mm] Cauchyfolge.
Kann man das so lassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Sa 04.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
es fehlt dass [mm] x_n [/mm] ne Cauchyfolge ist und dazu eben ein N existiert.
Fang an mit zu zeigen
$ [mm] \left|f(x_n)-f(x_m)\right| <\epsilon [/mm] $ für n,m>N
gesucht ist also N
wegen Stetigkeit von f(x) gibt es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] ˜\delta....
[/mm]
dieses [mm] \delta [/mm] kann man wegen [mm] x_n [/mm] Cauchyfolge erreichen mit...N denn es gilt für Cauchyfolgen zu jeden [mm] \delta [/mm] gibt es ein N [mm] mit|xn-xm|<\delta
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 So 05.12.2010 | | Autor: | ehaefner |
Nochmals vielen Dank! Ok ich glaub jetzt weiß ich worauf die hinauswillst. So richtig?
Sei [mm] \epsilon [/mm] >0. Da f stetig ist, existiert ein [mm] \delta>0, [/mm] so dass für alle [mm] x,x_0\in \IR [/mm] aus [mm] \left|x-x_0\right| <\delta [/mm] auch [mm] \left|f(x)-f(x_0)\right| <\epsilon [/mm] folgt.
Da [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchyfolge ist, gibt es zu diesem [mm] \delta [/mm] ein [mm] N\in\IN [/mm] so dass für alle n, m [mm] \qeq [/mm] N gilt [mm] \left|x_n-x_m\right| <\delta [/mm] und damit auch [mm] \left|f(x_n)-f(x_m)\right| <\epsilon [/mm] folgt.
Also ist [mm] (f(x_n))_n_\in_\IN [/mm] Cauchyfolge.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:58 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Nochmals vielen Dank! Ok ich glaub jetzt weiß ich worauf
> die hinauswillst. So richtig?
>
> Sei [mm]\epsilon[/mm] >0. Da f stetig ist, existiert ein [mm]\delta>0,[/mm]
> so dass für alle [mm]x,x_0\in \IR[/mm] aus [mm]\left|x-x_0\right| <\delta[/mm]
> auch [mm]\left|f(x)-f(x_0)\right| <\epsilon[/mm] folgt.
>
> Da [mm](x_n)[/mm] eine Cauchyfolge ist, gibt es zu diesem [mm]\delta[/mm] ein
> [mm]N\in\IN[/mm] so dass für alle n, m [mm]\qeq[/mm] N gilt
> [mm]\left|x_n-x_m\right| <\delta[/mm] und damit auch
> [mm]\left|f(x_n)-f(x_m)\right| <\epsilon[/mm] folgt.
>
> Also ist [mm](f(x_n))_n_\in_\IN[/mm] Cauchyfolge.
Perfekt !
FRED
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