Cauchyprodukt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Mi 30.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
Hab mal ne Frage, wie folgende Aufgabe funktionieren soll:
Die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{ \infty}b_{n} [/mm] sei absolut konvergent und habe die Summe b. Welche Summe hat dann die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} (a^{n}*b_{0}+a^{n-1}*b_{1}+......+a*b_{n-1}+b_{n}
[/mm]
das hat sicher was mit dem cauchyprodukt zu tun, aber wie wende ich das im konkreten fall an, ich hab doch nicht mal ein [mm] a_{n}?
[/mm]
bilde ich etwa das produkt von [mm] \summe_{n=0}^{ \infty}b_{n} [/mm] und [mm] \summe_{m=0}^{ n} a^{m-n}
[/mm]
liebe grüße
|
|
| |
|
Hallo,
also deine Aufgabe ist so nicht verständlich. Du hast doch da keine Reihe hingeschrieben! $ [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} [/mm] $ ist einfach nur ein Summenzeichen mit Grenzen. Poste die Aufgabe mal richtig!
Und wieso betitelst du deine Frage mit Cauchy-Folge??
Bitte um Aufklärung!
VG Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Do 01.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Also hier nochmal die überarbeitete Form:
Die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} b_{n} [/mm] sei absolut konvergent und habe die Summe b. Welche Summe hat dann die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} (a^{n}*b_{0}+a^{n-1}*b_{1}+....+a*b_{n-1}+b_{n} [/mm] für |a | < 1
also ich denke mal, man muss hier überprüfen, ob es sich um ein cauchyprodukt handelt. aber wie mach ich das, ich hab doch nicht mal ein
[mm] a_{n} [/mm] gegeben?
liebe Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo,
wie wäre es denn, die b's alle auszuklammern? Dann steht dein Cauchy-Produkt schon fast da? Dann musst du dich noch fragen, welche Anforderungen an die "Reihe mit den a's" gestellt wird und, ob diese erfüllt sind (Du hast in der Aufgabe einen ganz entscheidenden Tipp gegeben...!). Dann weißt du, welche Summe deine Reihe!
VG Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Do 01.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Ich weiß ja, dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n} [/mm] die summe b hat, also kann ich das ja schon mal davor schreiben:
[mm] b*\summe_{n=0}^{\infty} (a^{n}+a^{n-1}+.....+a) [/mm] und jetzt muss ich das mit |a | < 1 noch irgendwie einbauen.
kann ich die ganzen a's nicht auch mit einem summenzeichen schreiben, etwai in der art [mm] \summe_{m=0}^{n} a^{n-m} [/mm] ??
liebe grüße
|
|
|
| |
|
Hallo!
$b$ ausklammern geht leider nicht, da ja fast alle [mm] $b_n$ [/mm] ungleich $b$ sind.
Was aber tatsächlich funktioniert, ist die Idee mit dem Cauchy-Produkt, denn:
[mm] $\summe_{n=0}^\infty(b_0a^n+\dots b_n)=\left(\summe_{n=0}^\infty b_n\right)\cdot \left(\summe_{n=0}^\infty a^n\right)$...
[/mm]
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Do 01.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Warum hab ich aber eigentlich die Einschränkung |a| < 1 ?
Also wenn ich die Reihen als Cauchyprodukt schreibe hab ich die Summe und bin fertig?
Ach ja, in der Aufgabe war ja noch gegeben, dass die gegebene Reihe die Summe b hat. Kann ich da nicht auch das Produkt wie folgt schreiben:
b* [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a^{n}
[/mm]
liebe grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Do 01.12.2005 | | Autor: | Becky |
Hey Franzie!
Das ist schon so richtig so, aber denkt doch mal bei der zweiten Reihe an die geometrische Reihe!
Wir haben schon einmal beweisen wogegen diese strebt.
Gruß Becky
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 22:14 Do 01.12.2005 | | Autor: | Franzie |
Ja, die zweite reihe strebt gegen 1/(1-a), weil sie ja eine geometrische reihe ist. aber muss ich das überhaupt mit einbauen in meine formel, ich soll doch eigentlich nur die summe der reihen angeben.
also hätte ich
( [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n})*( \summe_{n=0}^{\infty} a^{n}=b*1/(1-n))
[/mm]
nun hab ich in meiner summe enthalten, dass summe von [mm] b_{n}= [/mm] b und die bedingung | a | < 1
das müsste es doch jetzt gewesen sein, oder?
danke schon mal für eure hilfe
liebe grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 So 04.12.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Franzie!
Auch hier konnte Dir leider keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
|
|
|
|
