Cauchysche Integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Mathec |
Hallo!
Ich beschäftige mich gerade mit der Cauchyschen Integralformel für Kreise, und zwar habe ich eine holomorphe Funktion auf einer offenen Menge und eine abgeschlossene Kreisscheibe,die vollständig in meiner offenen Menge enthalten ist.Dann gilt ja:
[mm] f(z)=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{}^{}{\bruch{f(\varepsilon)}{\varepsilon-z} d\varepsilon} [/mm] für alle z aus meiner abgeschlossenen Kreisscheibe.
Kann mir jemand sagen, ob dieser Integrand nicht holomorph ist oder wieso wird dieses Integral nicht 0??? Denn nach dem Cauchyschen IntegralSATZ für Kreise müsste doch eigentlich gelten, dass das Integral 0 wird und damit dann auch f(z)???Außerdem ist doch [mm] f(\varepsilon) [/mm] holomorph und [mm] \bruch{1}{\varepsilon-z} [/mm] auch,also der gesamte Integrand??!! Ich habe keine Ahnung,wo mein Denkfehler liegt:-( Bitte helft mir!!!
Vielen Dank schonmal!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Sa 20.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!
> Ich beschäftige mich gerade mit der Cauchyschen
> Integralformel für Kreise, und zwar habe ich eine
> holomorphe Funktion auf einer offenen Menge und eine
> abgeschlossene Kreisscheibe,die vollständig in meiner
> offenen Menge enthalten ist.Dann gilt ja:
> [mm]f(z)=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{}^{}{\bruch{f(\varepsilon)}{\varepsilon-z} d\varepsilon}[/mm]
> für alle z aus meiner abgeschlossenen Kreisscheibe.
> Kann mir jemand sagen, ob dieser Integrand nicht holomorph
> ist oder wieso wird dieses Integral nicht 0??? Denn nach
> dem Cauchyschen IntegralSATZ für Kreise müsste doch
> eigentlich gelten, dass das Integral 0 wird und damit dann
> auch f(z)???Außerdem ist doch [mm]f(\varepsilon)[/mm] holomorph und
> [mm]\bruch{1}{\varepsilon-z}[/mm] auch,
Nein, [mm]\bruch{1}{\varepsilon-z}[/mm] ist nicht holomorph in der gesamten Kreisscheibe, nämlich gerade nicht an der Stelle [mm] $z=\varepsilon$, [/mm] die nach Voraussetzung innerhalb der Kreisscheibe liegt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Mathec |
Ja,stimmt..dann ist die Formel klar!!!Danke dir!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 So 21.06.2009 | | Autor: | Mathec |
Hallo nochmal!
Jetzt befürchte ich doch, dass ich es nicht ganz verstanden habe:-(
Und zwar müssen doch die z aus dem Inneren der Kreisscheibe sein und nicht aus dem Rand (steht jedenfalls so in meinem Skript), aber [mm] \varepsilon [/mm] ist aus dem Rand der Kreisscheibe...also kann doch z nie [mm] \varepsilon [/mm] sein???!!
Danke nochmal für eure Hilfe!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 So 21.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo
> Jetzt befürchte ich doch, dass ich es nicht ganz
> verstanden habe:-(
> Und zwar müssen doch die z aus dem Inneren der
> Kreisscheibe sein und nicht aus dem Rand (steht jedenfalls
> so in meinem Skript), aber [mm]\varepsilon[/mm] ist aus dem Rand der
> Kreisscheibe...also kann doch z nie [mm]\varepsilon[/mm] sein???!!
Das ist nicht der Punkt: zwar verläuft der Integrationsweg nur über den Rand der Kreissscheibe, aber damit der Cauchysche Integralsatz gilt, muss der Integrand auf dem Rand und im Inneren der Kreisscheibe überall wohldefiniert und im Inneren holomorph sein. Es ist gerade der Zusammenhang zwischen dem Verhalten auf dem Rand und im Inneren, der zur Ausssage des Integralsatzes führt.
Viele Grüße
Rainer
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