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Hi zusammen,
ich werde eine Mündliche in 3 Tagen in LA1+2 haben.
Ich wollte den Cayley Hamiltin als Eingangsbeweis vorführen, allerdings habe ich keinen guten Beweis gefunden, zudem noch teilweise unterschiedliche Bemerkungen in verschiedener Quellen gefunden, die ich nicht ganz verstanden habe.
hat jemand eine gute www oder kann den beweis mit seinen eigenen worten bzw verständlich hier darstellen?
vielen dank im voraus.
LG
Daywalker
ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
wir hatten einen Beweis, der so ähnlich war wie ![[]](/images/popup.gif) dieser hier (bei "A direct algebraic proof").
Grüße,
Stefan
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danke @ steppenhan:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%E2%80%93Hamilton_theorem#A_direct_algebraic_proof
meine englischkennntnisse bzw mathekenntnisse reichen nicht aus, um die seite gut zu verstehen, über eine deutsche quelle würde ich mich freuen.
danke & gruß
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Hallo Daywalker79,
es gibt verschiedene Formulierungen des Satzes von Cayley-Hamilton
und Beweise, die unterschiedliche Hilfsmittel benutzen.
Welche Formulierung des Satzes und welcher Beweis für Deine Prüfung
am geeignetsten ist, ist deshalb für mich schwer einzuschätzen.
Ich zeige Dir hier mal eine Beweisvariante des Satzes in der Formulierung
für einen Endomorphismus $f$ eines $n$-dimensionalen ($n [mm] \in \mathbb{N}$) [/mm] Vektorraums $V$ über dem kommutativen Körper $K$. Zu zeigen ist also [mm] $\chi_f [/mm] (f) = 0$.
Beweis:
Es sei [mm] $v_1, \ldots, v_n$ [/mm] eine Basis von $V$ mit [mm] $f(v_j) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n a_{ij}v_i$. [/mm] Diese Gleichung wird unter Verwendung des Kroneckersymbols [mm] $\delta_{ij}$ [/mm] etwas anders dargestellt:
[mm] $\sum_{i=1}^n f(v_i)\delta_{ij} [/mm] - [mm] a_{ij}v_i [/mm] = 0$.
Jetzt fassen wir $V$ als $K[X]$-Modul via $f$ auf. Es gilt also für $ [mm] i\in \{1,\ldots,n\}$ $Xv_i [/mm] = [mm] f(v_i)$. [/mm] Damit wird die Gleichung zu
[mm] $\sum_{i=1}^n (X\delta_{ij} [/mm] - [mm] a_{ij})v_i [/mm] = 0$.
Die Cramersche Regel für dieses lineare Gleichungssystem mit Koeffizienten in $K[X]$ besagt nun, dass [mm] $\chi_f v_k [/mm] = 0$ für [mm] $k\in \{1,\ldots,n\}$, [/mm] also [mm] $\chi_f [/mm] (f) = 0$.
Gruß mathfunnel
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das ziemlich gut aus::)
dankeeee!
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