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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:31 Mo 21.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | | Bestimme [mm] Z(S_{n}) [/mm] und [mm] Z(A_{n}) [/mm] für [mm] n\ge3 [/mm] |
Hallo,
ich hab die Aufgabe zum Teil gelöst, komm aber bei der Bestimmung von [mm] Z(A_{n}) [/mm] nicht weiter. Ich hoffe, es kann mir da jemand weiter helfen.
Wenn G eine Gruppe ist, dann ist ja das Zentrum Z(G) so definiert: Z(G) = { g [mm] \in [/mm] G | gh = hg [mm] \forall [/mm] h [mm] \in [/mm] G}.
Für [mm] Z(S_{n}) [/mm] habe ich herausbekommen, dass [mm] Z(S_{n}) [/mm] = {id} ist, da [mm] \id \circ \sigma [/mm] = [mm] \sigma \circ [/mm] id [mm] \forall \sigma \in S_{n}.
[/mm]
D.h. [mm] \forall \sigma \in S_{n}, \sigma \not= [/mm] id [mm] \exists \tau \in S_{n}: \sigma \tau \not= \tau \sigma. [/mm] Also gibt es i [mm] \not= [/mm] j [mm] \in [/mm] { 1,...,n } mit [mm] \sigma(i) [/mm] = j. Da n [mm] \ge [/mm] 3 [mm] \exists [/mm] k [mm] \in [/mm] { 1,..., n } \ {i,j} und es ist [mm] \sigma \tau_{jk}(i) [/mm] = [mm] \sigma(i) [/mm] = j. Andererseits ist [mm] \tau_{jk} \sigma(i) [/mm] = [mm] \tau_{jk}(j) [/mm] = k [mm] \not= [/mm] j.
Also [mm] \sigma \not\in Z(S_{n}).
[/mm]
Nun weiß ich, dass [mm] A_{n} [/mm] die alternierende Gruppe ist. Das ist doch die Menge aller Permutationen mit sign = 1 oder?
Wie kann ich das Zentrum von [mm] A_{n} [/mm] finden? Transpositionen sind nicht in [mm] A_{n}, [/mm] da sie sign = -1 haben oder?
Danke schonmal für die Hilfe.
Viele Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:14 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hoffe, es kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich das Zentrum von [mm] A_{n} [/mm] bestimmen kann. Bis jetzt weiß ich, dass auch die Identität zum Zentrum gehört.
Das Zentrum von [mm] A_{n} [/mm] ist so definiert oder? [mm] Z(A_{n}) [/mm] = { [mm] \sigma \in A_{n}, [/mm] wobei [mm] sign(\sigma) [/mm] = 1 | [mm] \sigma \tau [/mm] = [mm] \tau \sigma \forall \tau \in A_{n} [/mm] }
Aber wie finde ich andere geraden Permutationen? Wie muss ich da genau vorgehen? Oder gibt es in [mm] Z(A_{n}) [/mm] auch nur die Identität wie bei [mm] Z_(S_{n})?
[/mm]
Stimmt der Beweis für [mm] Z_(S_{n}) [/mm] so?
Ich hoffe, es kann mir jemand weiterhelfen, ich komm bei der Aufgabe allein nicht weiter...
Viele Grüße und schonmal danke im Voraus.
Moe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 29.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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