Cesaro Limes < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hab eine wichtige frage. wär lieb wenn mir da irgendjemand weiterhelfen könnte. danke im voraus.
die definition vom cesaro limes ist ja:
Sei [mm](x_n)[/mm], n aus den natürlichen Zahlen eine Folge reeller Zahlen. Für n aus den natürlichen Zahlen heißen die Zahlen
[mm]s_n = \bruch{1} {n} \summe_{i=1}^{n} x_i [/mm]Cesaro - Mittel der Folge [mm](x_n)[/mm]. Die Folge [mm](x_n)[/mm] heißt Cesaro-limitierbar, wenn die Folge sn der Cesaro - Mittel konvergiert. In diesem Fall heißt der Grenzwert der Folge sn Cesaro-Limes.
Jetzt meine Fragen dazu:
Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch:
1. Jede konvergente Folge ist Cesaro-limitierbar.
2. Der Cesaro-Limes einer konvergenten Folge ist der Grenzwert der Folge.
3. Jede Cesaro-limitierbare Folge konvergiert.
4. Jede beschränkte Folge ist Cesaro-limitierbar.
wie kann man beweisen ob richtig oder falsch?? hat jemand vielleicht einen lösungsansatz für mich?? würd mich freuen.
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Hallo.
Hab mal die Formeln in deiner Frage etwas lesbarer gemacht.
Also die 3. und die 4. Aussage stehen schonmal im Widerspruch zueinander, denn dann würde jede beschränkte Folge konvergieren.
2. läßt sich recht leicht beweisen, denn sei [mm]a_n \to a[/mm]
und [mm]b_n+a = a_n[/mm], so [mm]b_n \to 0[/mm] und das Cesaro-Mittel für [mm]a_n[/mm]: [mm]s_n=\bruch{1} {n}\summe_{i=1}^{n}a_i=\bruch{1} {n}\summe_{i=1}^{n}(b_i+a)=\bruch{1} {n}
\summe_{i=1}^{n}(b_i)+\bruch{na} {n}=a+\bruch{1} {n}\summe_{i=1}^{n}b_i [/mm] Jetzt ist also noch zu zeigen, daß wenn eine Folge gegen 0 konvergiert, ihr Cesaro-Limes [mm]t_n[/mm] auch 0 ist.
Da [mm]b_n[/mm] aber konvergiert, ist es insbes. beschränkt, d.h. es gibt ein reelles c>0 mit [mm]|b_n|
Das heißt aber [mm]t_n=\bruch{1} {n}\summe_{i=1}^{n}b_i
Also ist auch [mm]t_n[/mm] beschränkt, vor allem aber gibt es ein N aus den natürlichen Zahlen mit [mm]\summe_{1}^{n}b_n < n[/mm] für alle n>N (folgt aus der Konvergenz von [mm]b_n[/mm] gegen 0).
Damit folgt jedoch direkt, daß [mm]t_n \to 0[/mm].
Und das ist ja das, was wir zeigen wollten.
Der Punkt 2. impliziert aber bereits den 1. Punkt, denn wenn der Cesaro-Limes gleich dem normalen Grenzwert ist, dann ist jede Folge konvergente auch Cesaro-limitierbar (wir haben in dem Beweis oben ja nur angenommen, daß die Folge konvergiert, nicht ihr Cesaro-Mittel).
So, ich hoffe, daß mir bis hierhin keine groben Schnitzer unterlaufen sind. Sollten Unklarheiten bestehen, immer nachfragen!
Gruß,
Christian
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