Charakteristik < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo, Verständnisfrage
Ich habe hier ein Definition:
Ist R ein Ring mit Einselement 1, so ist seine Charakteristik erklärt durch
char(R):= 0, falls n*1 [mm] \not= [/mm] 0 für alle n [mm] \ge [/mm] 1,
oder
char(R):= min{n [mm] \in \IN [/mm] \ {0} : n*1 = 0 } sonst.
(Ich hätte es gern in dieser geschwungenen Klammer geschrieben habs aber nicht hinbekommen.)
Gut, ich verstehe diese Definition überhaupt nicht. Gibt es vielleicht eine andere Definition zu Charakteristik.
Und kann mir bitte jemand erklären, was das Charakteristik für einen Ring laut dieser Definition bedeutet. Vielleicht auch ein Beispiel geben.
Danke
Tito
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Fr 07.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi Tito
> Hallo, Verständnisfrage
>
> Ich habe hier ein Definition:
>
> Ist R ein Ring mit Einselement 1, so ist seine
> Charakteristik erklärt durch
>
> char(R):= 0, falls n*1 [mm]\not=[/mm] 0 für alle n [mm]\ge[/mm] 1,
> oder
> char(R):= [mm] min\{n\in \IN\setminus {0} : n*1 = 0 \} [/mm] sonst.
>
> (Ich hätte es gern in dieser geschwungenen Klammer
> geschrieben habs aber nicht hinbekommen.)
du meinst diese darstellung
[m] \textrm{char} \, (R) = \begin{cases} 0 & \textrm{ wenn } n*1 \not= 0 \textrm{ für alle } n \geq 1 \\
\min \{ n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} : n*1 = 0 \} & \textrm{ sonst} \end{cases} [/m]
(einfach mal draufklicken, dann wir dir der quelltext angezeigt)?
> Gut, ich verstehe diese Definition überhaupt nicht. Gibt es
> vielleicht eine andere Definition zu Charakteristik.
ja, aber die liefern im prinzip alle das selbe und ich bin mir nicht sicher, ob eine andere definition verständlicher ist.
> Und kann mir bitte jemand erklären, was das Charakteristik
> für einen Ring laut dieser Definition bedeutet. Vielleicht
> auch ein Beispiel geben.
erstmal etwas ganz wichtiges vorweg, [m]n \cdot 1 [/m] stellt hier die $n$-fache summe der $1$ (also des multiplikativ neutralem elements mit sich selber dar, denn solche zahlen wie $n$ gibt es ja in einem beliebigen ring erstmal nicht)! also [m] n\cdot 1 = \underbrace{1 + 1 + \hdots + 1}_{n-\textrm{mal}} [/m].
im prinzip sagt die charakteristik aus, ob man irgendwann mal wieder dort rauskommt, wo man angefangen hat, wenn man immer weiter addiert. hat nämlich ein ring die charakteristik $n$, so ist [mm] $(n+1)\cdot1 [/mm] = 1$ man ist hier also nach einer endlichen anzahl von schritten wieder am anfang angekommen. man kann aber aus einer endlichen charakteristik nicht folgern, dass der ring endlich ist, andersrum muss aber jeder endliche ring auch endliche charakteristik haben! untersuche z.b. mal den ring [m] \mathbb{Z} [/m], hier kannst du beliebig oft die $1$ zu sich selbst addieren ohne wieder auf die $0$ zu kommen, es gilt also [m] \textrm{char} \, \mathbb{Z} = 0 [/m] genauso für [m] \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} [/m], wenn man diese körper als ringe auffasst.
hingegen sind die restklassen ringe [m] \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} = \mathbb{Z} / (n) [/m] ringe endlicher charakteristik, denn hier erhält man, wenn man $n$ mal die $1$ zu sich selbst addiert hat, die $0$, also gilt [m] \textrm{char} \, \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} = n [/m]. insbesondere gilt z.b. in [m] \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} [/m], dass [m] 1 + 1 = 0 [/m], was manchmal recht ärgerlich ist!
ich hoffe das hilft erstmal für den anfang. frage bei den dingen, die dir noch unklar sind einfach nach.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 Fr 07.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi Andreas
Das hast echt gut erklärt.
Hab mich schon immer gefragt was Charakteristik eigentlich bedeutet und so wie du es geschrieben hast, hab ichs verstanden...
Danke
mfg
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Tito |
Ich danke dir auch Andreas. Kann mich meinem Vorredner nur anschließen danke für die gute Erklärung, habs jetzt auch gerafft.
Gruß Tito
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