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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Do 06.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
ich arbeite gerade den Beweis zu char K=p [mm] \gdw [/mm] P [mm] \cong \IF_{p}
[/mm]
durch und zwar die Hinrichtung (K Körper)
Jetzt steht im Bosch-Buch dazu: Betrachte den kan. Ringhomom. [mm] \phi: \IZ\to [/mm] K. Dieser faktorisiert durch den Primkörper P, also im [mm] \phi=P. [/mm] Warum ist das so ? Kann man das beweisen?
Gruß
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Do 06.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian
> ich arbeite gerade den Beweis zu char K=p [mm]\gdw[/mm] P [mm]\cong \IF_{p}[/mm]
>
> durch und zwar die Hinrichtung (K Körper)
> Jetzt steht im Bosch-Buch dazu: Betrachte den kan.
> Ringhomom. [mm]\phi: \IZ\to[/mm] K. Dieser faktorisiert durch den
> Primkörper P, also im [mm]\phi=P.[/mm] Warum ist das so ? Kann man
> das beweisen?
Wenn $P [mm] \cong \IF_p$ [/mm] ist, dann hast du $P = [mm] \{ z \cdot 1_K \mid z \in \IZ \}$, [/mm] womit $P = im [mm] \phi$ [/mm] ist und [mm] $\ker \phi [/mm] = (p)$.
Wenn die Charakteristik von $K$ gleich $p$ ist, dann hat der Homomorphismus [mm] $\phi$ [/mm] den Kern $(p)$, womit nach dem Homomorphiesatz $im [mm] \phi \cong \Z [/mm] / (p) [mm] \cong \IF_p$ [/mm] ist. Also hat $K$ einen Unterkoerper, der isomorph zu [mm] $\IF_p$ [/mm] ist, womit der Primkoerper von $K$ isomorph zu einen Unterkoerper von [mm] $\IF_p$ [/mm] sein muss. Da dieser keinen Unterkoerper hat, folgt $P [mm] \cong \IF_p$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Do 06.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hey Felix, danke für deine Antwort. Aber warum besitzt denn [mm] \IF_{p} [/mm] keinen Unterkörper ?
Danke !
LG
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Do 06.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian
> Hey Felix, danke für deine Antwort. Aber warum besitzt denn
> [mm]\IF_{p}[/mm] keinen Unterkörper ?
Weil jeder Koerper mindestens zwei Elemente hat und weil allein schon [mm] $\IZ_p$ [/mm] keine nicht-triviale Untergruppe hat (die additive Gruppe vom Unterkoerper muesste ja auch eine Untergruppe von [mm] $(\IF_p, [/mm] +)$ sein); dies liegt einfach am Satz von Lagrange und daran dass $p$ prim ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Do 06.11.2008 | | Autor: | Fry |
Oh ja,....wie einfach....: ) manchmal sollte wirklich erst etwas nachdenken, bevor man ne Frage stellt. Dank dir !
Gruß
Christian
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