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| Aufgabe | Gegeben sei die Riemann-Dichte:
[mm] f(x)=\bruch{1}{2\lambda} \exp(-\bruch{|x-\mu|}{\lambda})
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] >0, [mm] \mu \in \IR
[/mm]
Berechnen Sie ihre charakteristische Funktion. |
Die charakteristische Funktion ist ja [mm] \phi(t)=\IE(\exp(itX))=\integral_{\IR}^{}{\exp(itx) f(x) dx}.
[/mm]
Wenn ich die Symmetrie von f(x) ausnutze komme ich auf:
[mm] \phi(t)=\bruch{ \exp(-\bruch{\mu}{\lambda} ) }{\lambda} \integral_{-\infty}^{\mu}{\exp(x(it-\bruch{1}{\lambda}) dx}
[/mm]
Stimmt das bis hierhin? Bei der Ausführung des Limes bin ich mir auch unsicher. Verschwindet der exp-Term dann?
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Hiho,
> Wenn ich die Symmetrie von f(x) ausnutze komme ich auf:
> [mm]\phi(t)=\bruch{ \exp(-\bruch{\mu}{\lambda} ) }{\lambda} \integral_{-\infty}^{\mu}{\exp(x(it-\bruch{1}{\lambda}) dx}[/mm]
Aha, wie?
Vorrechnen, dann sehen wir weiter.
> Bei der Ausführung des Limes bin ich mir auch unsicher. Verschwindet der exp-Term dann?
Welcher Limes?
Gruß,
Gono.
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Naja der Limes für [mm] x->-\infty.
[/mm]
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Hiho,
wie schon geschrieben: Vorrechnen!
Gruß,
Gono.
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[mm] \phi(t)=\bruch{1}{2 \lambda }\integral_{-\infty}^{\infty}{\exp(\bruch{x-\mu}{\lambda}) \exp(itx) dx}=\bruch{1}{ \lambda }\integral_{-\infty}^{\mu}{ \exp(\bruch{x-\mu}{\lambda}+itx)dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{\exp(-\bruch{\mu}{\lambda})}{ \lambda }\integral_{-\infty}^{\mu}{ \exp(x(it+\bruch{1}{\lambda}))dx}=\bruch{\exp(-\bruch{\mu}{\lambda})}{ \lambda }[\bruch{1}{it+\bruch{1}{\lambda}} \exp(x(it+\frac{1}{\lambda}))]^{\mu}_{\infty}=\bruch{\exp(-\bruch{\mu}{\lambda})}{\lambda it+1}(\exp(\mu(it+\bruch{1}{\lambda}))-\lim_{x \to \infty}\exp(x(it+\bruch{1}{\lambda})))
[/mm]
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Hiho,
> [mm]\phi(t)=\bruch{1}{2 \lambda }\integral_{-\infty}^{\infty}{\exp(\bruch{x-\mu}{\lambda}) \exp(itx) dx}[/mm]
Hier vergisst du schon mal die Betragsstriche.
> [mm]=\bruch{1}{ \lambda }\integral_{-\infty}^{\mu}{ \exp(\bruch{x-\mu}{\lambda}+itx)dx}[/mm]
Wo ist der Rest vom Integral hin?
Also der Teil von [mm] \mu [/mm] bis [mm] $\infty$?
[/mm]
Die Dichte ist zwar symmetrisch in [mm] $\mu$, [/mm] das itx doch aber nicht.
Demzufolge kürzt sich da auch nix mit der [mm] $\bruch{1}{2}$.
[/mm]
Demzufolge ist der Rest dann falsch, von der Lösungsidee her aber richtig.
Schreibe das sauber auf und vergiss den restlichen Teil des Integrals nicht, dann passt das schon.
Gruß,
Gono.
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Stimmt.
Also:
[mm] \phi(t)=\bruch{1}{2 \lambda}\integral_{-\infty}^{\infty}{\exp(-|\bruch{x-\mu}{\lambda}|) \exp(itx) dx}=\bruch{1}{2 \lambda}[\exp(-\bruch{\mu}{\lambda})\integral_{-\infty}^{\mu}{\exp(\bruch{x}{\lambda}) \exp(itx) dx}+\exp(\bruch{\mu}{\lambda})\integral_{\mu}^{\infty}{\exp(\bruch{-x}{\lambda}) \exp(itx) dx}]=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2 \lambda}[\exp(-\bruch{\mu}{\lambda}) [\bruch{1}{it+\bruch{1}{\lambda}} \exp(x(it+\bruch{1}{\lambda}))]^{\mu}_{-\infty}+\exp(\bruch{\mu}{\lambda})[\bruch{1}{it-\bruch{1}{\lambda}}\exp(x(it-\bruch{1}{\lambda}))]^{\infty}_{\mu}]
[/mm]
Dafür brauche ich nun die beiden Limites:
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} \exp(x(it+\bruch{1}{\lambda})
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow \infty} \exp(x(it-\bruch{1}{\lambda})
[/mm]
Und da bin ich mir recht unsicher, weil exp(itx) ja komplexwertig ist. Im reellen Fall würde ja exp(x) für [mm] x\rightarrow \infty [/mm] nicht konvergieren.
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Hiho,
glücklicherweise sollte dir aus Analysis I der Satz bekannt sein: [mm] $a_n \to 0\; \gdw \; |a_n| \to [/mm] 0$
Wende diesen auf deine Grenzwerte an und nutze aus, was du für reellwertige x über [mm] $\left|\exp(itx)\right|$ [/mm] weißt.
Gruß,
Gono.
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[mm] |\exp(xit)| [/mm] geht für x [mm] \rightarrow \pm \infty [/mm] gegen 1, oder? Und damit auch [mm] \exp(xit)
[/mm]
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Hiho,
> [mm]|\exp(xit)|[/mm] geht für x [mm]\rightarrow \pm \infty[/mm] gegen 1, oder?
Ja, aber auch ohne "geht für".
Es gilt für alle $x [mm] \in \IR,\; |\exp(xit)| [/mm] = 1$
Mach dir das klar, denn [mm] $exp(i\varphi)$ [/mm] ist für [mm] $\varphi\in\IR$ [/mm] nichts anderes als der Einheitskreis in der komplexen Zahlenebene.
Gruß,
Gono.
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Ok.
Nun aber zu [mm] \lim_{x \rightarrow \infty }\exp(x(it\pm\bruch{1}{\lambda})).
[/mm]
Es gilt ja: [mm] \lim_{x \rightarrow \infty }\exp(x(it\pm\bruch{1}{\lambda}))=\lim_{x \rightarrow \infty }\exp(x(it)) \lim_{x \rightarrow \infty} \exp(\pm\bruch{x}{\lambda})
[/mm]
Der erste Limes ist ja nun klar, aber der 2. Grenzwert existiert doch garnicht?!
Oder bringe ich hier wieder was durcheinander?
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Hiho,
> Ok.
> Es gilt ja: [mm]\lim_{x \rightarrow \infty }\exp(x(it\pm\bruch{1}{\lambda}))=\lim_{x \rightarrow \infty }\exp(x(it)) \lim_{x \rightarrow \infty} \exp(\pm\bruch{x}{\lambda})[/mm]
Hiho,
das [mm] \pm [/mm] ist falsch, da steht ja nur ein Minus, oder du musst im Grenzwert korrekterweise [mm] \mp [/mm] schreiben. Weiterhin ist "der erste Limes" ganz und gar nicht klar!
Der existiert gar nicht, du kannst hier also keine Grenzwertsätze benutzen!
Betragsmäßig existiert der Einzelgrenzwert, aber nicht ohne Betrag.
Trotzdem existiert der Gesamtgrenzwert!
Mach dir das klar.
Es gilt: [mm] $\lim_{x \rightarrow \infty} \exp(-\bruch{x}{\lambda}) [/mm] = 0$
Und nur diesen Grenzwert brauchst du in der Aufgabe. Ist dir klar, warum da Null rauskommt?
Gruß,
Gono.
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