Charakteristische Untergruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 So 18.11.2007 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | Eine Untergruppe U heißt charakteristisch in G, wenn [mm] U=\alpha(U) [/mm] für jeden Automorphismus [mm] \alpha [/mm] von G. Man zeige:
a) Charakteristische Untergrupen sind normal.
b) Ist G eine Gruppe, N Normalteiler von G und H charakteristische Untergruppe von N, so ist H normal in G.
c) Das Zentrum einer Gruppe ist eine charakteristische Untergruppe.
d) Bestimme die charakteristischen Untergruppen von [mm] D_{4}. [/mm] |
Hallo zusammen,
meine erste Frage zu dieser Aufgabe betrifft die a). Für lineare Abbildung (insbes. Automorphismen) gilt ja allgemein L(ax)=aL(x) . Gilt auch L(ax)=L(x)a ??? Weil dann hätte ich die Aufgabe bereits gelöst. Und wenn nicht, wie muss ich denn dan genau vorgehen. Soll ich mit der Normalteilerdefinition aU=Ua für Nebenklassen arbeiten oder eher [mm] g^{-1}ug \in [/mm] U für alle g [mm] \in [/mm] G?
Das wär mir schon mal ne Hilfe, vielen Dank!
Gruß Michi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 So 18.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Michi
> Eine Untergruppe U heißt charakteristisch in G, wenn
> [mm]U=\alpha(U)[/mm] für jeden Automorphismus [mm]\alpha[/mm] von G. Man
> zeige:
>
> a) Charakteristische Untergrupen sind normal.
>
> meine erste Frage zu dieser Aufgabe betrifft die a). Für
> lineare Abbildung (insbes. Automorphismen) gilt ja
> allgemein L(ax)=aL(x) . Gilt auch L(ax)=L(x)a ???
Du scheinst hier von linearen Abbildungen von Vektorraeumen zu reden. Gemeint sind in der Aufgabe aber Homomorphismen von Gruppen! Da gibt es keine Skalare, die du rausziehen kannst, es gilt halt nur $L(a b) = L(a) L(b)$.
Fuer die Aufgabe (a) musst du zeigen, dass fuer festes $g [mm] \in [/mm] G$ die Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : x [mm] \mapsto [/mm] g x [mm] g^{-1}$ [/mm] ein Automorphismus von $G$ ist, also ein bijektiver Gruppenhomomorphismus. Nach Voraussetzung gilt dann [mm] $\varphi(U) [/mm] = U$, was gerade $g U [mm] g^{-1} [/mm] = U$ bedeutet.
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:59 So 18.11.2007 | | Autor: | MichiNes |
Hallo Felix!
Also die Aufgabe a haben wir jetzt. Nun zur b. Wir haben mal Folgendes versucht. Vielleicht kannst dus dir ja mal anschauen:
geg: G Gruppe, N Normalteiler von G
H charakteristische Untergruppe von N, d.h. H Untergruppe von N und
H = [mm] \alpha [/mm] (H) für alle [mm] \alpha
[/mm]
z.z: H Normalteiler von G, d.h. z.z: [mm] g^{-1}Hg [/mm] = H für alle g [mm] \in [/mm] G
Betrachte den inneren Automorphismus [mm] \alpha_{x} [/mm] (g) = [mm] x^{-1}gx [/mm] für alle g [mm] \in [/mm] G
Dann gilt:
[mm] g^{-1}Hg [/mm] = [mm] \alpha_{g}(H) [/mm] = [mm] \alpha_{g} (\alpha_{n}(H)) [/mm] = [mm] \alpha_{g} (n^{-1}Hn) [/mm] = [mm] g^{-1}(n^{-1}Hn)g [/mm] = [mm] (g^{-1}n^{-1})H(ng) [/mm] = [mm] (ng)^{-1} [/mm] H (ng) = [mm] \alpha_{ng}(H) [/mm] = H
So haben wir uns das jetzt mal überlegt. Nur wissen wir nicht genau, ob wir den letzten Schritt machen dürfen, weil n*g ja nicht mehr unbedingt in N liegt.... Wahrscheinlich darf man es deshlab net machen, oder? Aber wie geht es sonst?
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 So 18.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> geg: G Gruppe, N Normalteiler von G
> H charakteristische Untergruppe von N, d.h. H
> Untergruppe von N und
> H = [mm]\alpha[/mm] (H) für alle [mm]\alpha[/mm]
>
> z.z: H Normalteiler von G, d.h. z.z: [mm]g^{-1}Hg[/mm] = H für alle
> g [mm]\in[/mm] G
>
> Betrachte den inneren Automorphismus [mm]\alpha_{x}[/mm] (g) =
> [mm]x^{-1}gx[/mm] für alle g [mm]\in[/mm] G
>
> Dann gilt:
>
> [mm]g^{-1}Hg[/mm] = [mm]\alpha_{g}(H)[/mm] = [mm]\alpha_{g} (\alpha_{n}(H))[/mm] =
> [mm]\alpha_{g} (n^{-1}Hn)[/mm] = [mm]g^{-1}(n^{-1}Hn)g[/mm] =
> [mm](g^{-1}n^{-1})H(ng)[/mm] = [mm](ng)^{-1}[/mm] H (ng) = [mm]\alpha_{ng}(H)[/mm] =
> H
>
> So haben wir uns das jetzt mal überlegt. Nur wissen wir
> nicht genau, ob wir den letzten Schritt machen dürfen, weil
> n*g ja nicht mehr unbedingt in N liegt.... Wahrscheinlich
> darf man es deshlab net machen, oder?
nein, das darf man im allgemeinen nicht. den grund habt ihr ja schon selbst genannt. dieses $n$ in's spiel zu bringen ist nicht unbedingt von vorteiel. macht euch lieber klar, dass [mm] $\alpha_g$ [/mm] für jedes $g [mm] \in [/mm] G$ ein automorphismus von $N$ ist (aus welcher voraaussetzung folgt das?). was kann man nun über [mm] $\alpha_g(H)$ [/mm] mit hilfe der anderen voraussetzung aussagen?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 So 18.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
ok neue Überlegung:
[mm] \alpha_{g}(x)=g^{-1}xg [/mm] ist ein Automorphismus von G. Da N Normalteiler (=>Untergruppe) ist [mm] \alpha_{g} [/mm] auch ein Automorphismus von N.
[mm] \alpha_{g}(H) \subset [/mm] N. Damit ist [mm] g^{-1}Hg=\alpha_{g}(H)=H [/mm] und H ein Normalteiler.
Die Frage daran ist: Ist ein Automorphismus von G auch ein Automorphismus von U, wenn U eine Untergruppe von G ist??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 So 18.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Die Frage daran ist: Ist ein Automorphismus von G auch ein
> Automorphismus von U, wenn U eine Untergruppe von G ist??
nein. im allgemeien nicht. allerdings habt ihr ja noch bestimmte voraussetzungen an $N$ und $H$ und die sollte man auch verwenden!
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 So 18.11.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hmmm... wir haben leider kein Skript und im Moment auch nicht unseren vollständigen Mitschrieb bei uns. Deshalb wissen wir nicht, wie die Sätze genau lauten... Aber gibt es evtl. einen Satz, der sagt, dass es für Normalteiler gilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 So 18.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
dafür braucht man auch keine sätze - ich denke das ist der hauptteil der aufgabe sich das selber mal zu überlegen, das ist auch nicht weiter schwer.
es ist also zu zeigen, dass für $g [mm] \in [/mm] G$ gilt: [mm] $\alpha_g \in \mathrm{Aut}(N)$, [/mm] wenn $N$ ein normalteiler in $G$ ist (hier wird je nach kontext mit [mm] $\alpha_g$ [/mm] die abbildung [mm] $\alpha_g: [/mm] G [mm] \longrightarrow [/mm] G; [mm] \; [/mm] x [mm] \longmapsto g^{-1}xg$ [/mm] oder [mm] $\alpha_g: [/mm] N [mm] \longrightarrow [/mm] N; [mm] \; [/mm] x [mm] \longmapsto g^{-1}xg$ [/mm] bezeichnet). betrachtet dazu [mm] $\alpha_g|_N [/mm] : N [mm] \longrightarrow [/mm] G$. zeigt dann, dass [mm] $\alpha_g|_N(N) \subseteq [/mm] N$, dass also [mm] $\alpha_g|N [/mm] : N [mm] \longrightarrow [/mm] N$. zeigt weiter, dass dieses [mm] $\alpha_g|_N$ [/mm] surjektiv ist, das heißt [mm] $\alpha_g|_N(N) [/mm] = N$. diese beiden aussagen folgen direkt daraus, dass $N$ normalteiler ist. wenn man sich dann noch klarmacht, dass diese abbildung injektiv ist (warum muss man dafür im prinzip nichts mehr tuen, wenn man weiß, dass [mm] $\alpha_g \in \mathrm{Aut}(G)$?) [/mm] ist man schon fertig.
für den rest der aufgabe kann man dann so weitermachen, wie ich oben schon angedeutet habe.
zeigt mal, wie weit ihr mit diesen hinweisen kommt.
grüße
amdreas
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