Chi Quadrat Dichte < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 So 28.09.2008 | | Autor: | linusg |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe Probleme, die Dichte der Chi Quadrat Verteilung zu verstehen.
Die Definition der Chi Quadrat Verteilung lautet:
[mm]Chi^2 = X_1^2+X_2^2+X_3^2+...X_n^2 [/mm]
wobei die [mm]X_i[/mm] standardnormal verteilt sind, also folgende Dichte besitzt:
[mm]f(x)=\bruch{1}{\wurzel{2*\pi}} *e^\left(\bruch{-x^2}{2}\right) [/mm]
Um die Dichte der Chi Quadrat Verteilung zu verstehen habe ich mal ganz naiv für n=1 gefolgert, daß:
[mm]Chi^2 = X_1^2 = \left(\bruch{1}{\wurzel{2*\pi}} *e^\left(\bruch{-x^2}{2}\right) \right)^2[/mm]
also die standardnormalverteilte Dichte zum Quadrat.
Allerdings finde ich in sämtlicher Literatur zu diesem Thema, daß die [mm]Chi^2[/mm] Dichte für n=1 ganz anders aussieht:
[mm]f(Chi^2)=\bruch{1}{\wurzel{2*\pi}}*e^\left(\bruch{-x}{2}\right)[/mm]
Wo ist mein Denkfehler?
Danke für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:13 So 28.09.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo linusg,
die Chi-Quadrat-Verteilung entsteht aus der Summe quadrierter normalverteilter Zufallsvariablen. Die Dichte ergibt sich jedoch nicht einfach durch Multiplikation der Einzeldichten. Das ist eine ganze Ecke komplizierter. Als Zwischenschritt hast Du die Verteilungsdichte der Multiplikation zweier Einzeldichten zu bestimmen. Diese sind, da sie dem gleichen Zufallsprozess entstammen, leider auch nicht unabhängig voneinander, was die Sache erschwert.
In einem Statistiklehrbuch kannst Du einige Seiten zu solch einer Dichtebestimmung finden, meist unter dem Stichwort "Funktionen zweier Zufallsvariabler".
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 So 28.09.2008 | | Autor: | linusg |
Hallo Infinit,
Ich habe mal nach deinem Stichwort recherchiert und zumindest verstanden, warum es nach meinem einfachen (naiven) Ansatz nicht geht :)
Den genauen Rechenweg muß ich jetzt nochmal selber erarbeiten.
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Viele Grüße
linusg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 So 28.09.2008 | | Autor: | luis52 |
> Hallo linusg,
> die Chi-Quadrat-Verteilung entsteht aus der Summe
> quadrierter normalverteilter Zufallsvariablen.
die Chi-Quadrat-Verteilung entsteht aus der Summe *unabhaengiger*
quadrierter *standard*normalverteilter Zufallsvariablen.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Mi 01.10.2008 | | Autor: | linusg |
> Diese
> sind, da sie dem gleichen Zufallsprozess entstammen, leider
> auch nicht unabhängig voneinander, was die Sache erschwert.
> In einem Statistiklehrbuch kannst Du einige Seiten zu solch
> einer Dichtebestimmung finden, meist unter dem Stichwort
> "Funktionen zweier Zufallsvariabler".
Hallo,
ich habe versucht im Netz und in ein paar Büchern, zum Thema "Funktionen zweier Zufallsvariabler" etwas zu finden, aber das meiste bezieht sich auf Summen unabhängiger Zufallsvariablen.
Kann mir jemand einen Hinweis geben, wo ich Literatur finde, die dieses Thema direkt behandelt?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Mi 01.10.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin linusg,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
>
> ich habe versucht im Netz und in ein paar Büchern, zum
> Thema "Funktionen zweier Zufallsvariabler" etwas zu finden,
> aber das meiste bezieht sich auf Summen unabhängiger
> Zufallsvariablen.
Und was hast du da gelernt? Kannst du etwas mit den Stichwoertern
"Faltung" oder "momenterzeugende Funktion" bzw. "charakteristische
Funktion" etwas anfangen? Wenn ja, prima. Du kannst ausnutzen, dass die
Chi-Quadratverteilung ein Spezialfall der Gamma-Verteilung ist. Zu
zeigen, dass die Summe von unabhaengigen Gamma-Verteilungen eine Gamma-Verteilung ist
gerade mit der Technik der momenterzeugende Funktion ein Klacks.
>
> Kann mir jemand einen Hinweis geben, wo ich Literatur
> finde, die dieses Thema direkt behandelt?
>
>
Das haengt davon ab, was du antwortest.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Di 07.10.2008 | | Autor: | linusg |
Hallo Luis,
Ich habe mit diesen Begriffen nochmal auf meinem Problem herumgekaut, bin aber damit leider erstmal nicht weitergekommen. "Faltung" oder "momenterzeugende Funktion" bzw. "charakteristische
Funktion" sagen mir zwar etwas, aber nicht genug :)
Ich befürchte auch, daß das Problem für mich wohl etwas schwerer ist als ich am Anfang dachte, trotzdem würde ich es gerne verstehen.
Wenn du mir also Literatur epfehlen kannst, die sich konkret damit befasst wäre ich dir sehr dankbar!
Viele Grüße
linusg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Di 07.10.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin linusg,
schau mal hier, Seite 207-208:
| 1: |
| | 2: | @BOOK{Mood74,
| | 3: | title = {Introduction to the Theory of Statistics},
| | 4: | publisher = {Mc-Graw-Hill},
| | 5: | year = {1974},
| | 6: | author = {A. M. Mood and F. A. Graybill and D. C. Boes},
| | 7: | edition = {3.}
| | 8: | }
|
Dort wird mit der Transformation [mm] $\IR^+\times\IR^+\to\IR^2$,
[/mm]
[mm] $(x,y)\mapsto(x+y,x/y)$ [/mm] gearbeitet. Dabei sind
[mm] $X\sim\Gamma(n_1,\lambda)$ [/mm] und [mm] $Y\sim\Gamma(n_2,\lambda)$ [/mm] unabhaengige
Zufallsvariablen. Die Verteilung von $X+Y$ resultiert als
Randverteilung der ersten Komponente.
Deine urspruengliche Frage bezog sich ja auf $n=1$. Das ist einfach.
Sei X standardnormalverteilt. Dann gilt fuer die Verteilungsfunktion
$F$ von [mm] $X^2$: [/mm] $F(z)=0$ fuer [mm] $z\le0$. [/mm] Waehle $z>0$:
[mm] \begin{matrix}
F(z)
&=&P(X^2\le z) \\
&=&P(-\sqrt{z}\le X\le \sqrt{z})\\
&=&2\Phi(\sqrt{z})-1
\end{matrix}
[/mm]
Leite nun nach z ab.
vg Luis
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