Chi_Quadrat Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Do 07.07.2005 | | Autor: | Haudegen |
[mm] Chi^2=\summe_{i=1}^k z_i^2 [/mm] wobei [mm] z_i [/mm] unabhängig und NV(0;1) sind
es gilt: [mm] EChi^2_k=E(\summe_{i=1}^k z_i^2)=\summe_{i=1}^k Ez_i^2
[/mm]
es gilt weiterhin: [mm] 1=var(z_i)=E(z_i^2)-(Ez_i)^2 [/mm] (wegen [mm] Ez_i=0) [/mm] ist das = [mm] var(Chi^2_k)=\summe_{i=1}^k var(z_i^2)=2k
[/mm]
mir ist nur der letzte Schritt nicht klar
der bedeutet ja, dass [mm] var(z_i^2)=2 [/mm] ist, wegen [mm] var(z_i)=1 [/mm] würde das bedeuten, dass [mm] var(z_i^2)=2*var(z_i) [/mm] ist, aber wie kann das sein, wenn wegen [mm] var(a*X)=a^2*var(X) [/mm] schon gilt, dass [mm] var(\wurzel{2}*X)=2*var(X) [/mm] ist???
Hat jemand einen Denkanstoß?
Finde auch in Google nichts zu derartigen Rechenregeln was Varianzen anbetrifft.
Ich hab die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Do 07.07.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es sei [mm] $g_{0,1}$ [/mm] die Dichte der Standardnormalverteilung. Dann gilt mit partieller Integration (beachte: [mm] $g_{0,1}$ [/mm] ist eine Stammfunktion von $x [mm] \mapsto -xg_{0,1}(x)$):
[/mm]
[mm] $E[z_i^4] [/mm] = [mm] \int x^4 g_{0,1}(x)\, [/mm] dx = [mm] [-x^{3}g_{0,1}(x)]_{-\infty}^{+\infty} [/mm] + 3 [mm] \int x^2 g_{0,1}(x)\, [/mm] dx = 3$.
Daraus folgt:
[mm] $Var[z_i^2] [/mm] = [mm] E[z_i^4] [/mm] - [mm] (E[z_i^2])^2 [/mm] = 3 - [mm] (Var[z_i])^2 [/mm] = 3-1=2$.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Fr 08.07.2005 | | Autor: | Haudegen |
sorry, aber ich verstehe die integration nicht
wenn für die partielle integration gilt:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] f(x)*g'(x) dx = f(x)*g(x) - [mm] \integral_{}^{} [/mm] f'(x)*g(x) dx
[mm] f=x^4 [/mm] --> [mm] f'=4x^3
[/mm]
[mm] g'=-x*g_0,_1(x) [/mm] --> [mm] g=g_0,_1(x)
[/mm]
oder wie war das gemeint?
auch warum [mm] g_0,_1 [/mm] Stammfunktion zu [mm] -xg_0,_1(x) [/mm] sein soll verstehe ich nicht
kanns irgendwie nicht so recht navolziehen :(
vielleicht kannst du noch ein paar worte zu der integration abgeben
mfg
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Hallo Haudegen!
> [mm]f=x^4[/mm] --> [mm]f'=4x^3[/mm]
> [mm]g'=-x*g_0,_1(x)[/mm] --> [mm]g=g_0,_1(x)[/mm]
Mit dieser Wahl würdest Du aber nicht auf den richtigen Integranden [mm] ($x^4\cdot g_{0,1}$) [/mm] kommen. Versuche mal
[mm] $f(x)=-x^3$ [/mm] und [mm] $g(x)=-x\cdot g_{0,1}(x)$
[/mm]
> auch warum [mm]g_0,_1[/mm] Stammfunktion zu [mm]-xg_0,_1(x)[/mm] sein soll
> verstehe ich nicht
Dann leite doch mal [mm] $g_{0,1}$ [/mm] ab! Hast Du die Funktion konkret vor Dir?
Die innere Ableitung (von $-1/2 [mm] x^2$) [/mm] ergibt gerade $-x$.
Viele Grüße
Brigitte
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