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| Aufgabe | H9. Beweisen Sie die Dreiecksungleichung für die chordale Metrik
[mm] $|\xi [/mm] , [mm] \eta| [/mm] = [mm] \frac{2 |\xi - \eta|}{\sqrt{\xi^2+1}\sqrt{\eta^2+1}}$
[/mm]
auf [mm] $\IR$. [/mm] |
Also eigentlich läuft das ganz gut. Aber an einem Punkt bleib ich ständig hängen. Im Internet hab ich einen Tipp gefunden, das ganze zum Quadrat zu betrachten. Aber damit kam ich auch nicht weiter.
Also so mein stand der Dinge:
Übrigens verwende ich der Einfachheit halber:
[mm] $\xi [/mm] := x; [mm] \eta [/mm] := y$
$|x , y| = [mm] \frac{2 |x - y|}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}} [/mm] = [mm] \frac{2 |x - z + z - y|}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}} \leq \frac{2 |x - z|+ 2|z-y|}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}} [/mm] = [mm] \frac{2 |x - z|}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}} [/mm] + [mm] \frac{2 |z - y|}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}} \leq [/mm] ... [mm] \leq \frac{2 |x - z|}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{z^2+1}} [/mm] + [mm] \frac{2 |z - y|}{\sqrt{z^2+1}\sqrt{y^2+1}} [/mm] = |x,z| + |z,y|$
Erklärung: Also zuerst wurde schlicht die Definition angewandt. Dann eine Produktive Null eingeführt und mit der Dreiecksungleichung aus [mm] $\IR$ [/mm] einfach nach oben abgeschätzt.
Damit haben wir schon mal sehr schön genau den Zähler so wie wir ihn haben wollen. ABER! Den Nenner bekomm ich einfach nicht umgestellt. Was ich auch bewerkstellige.
Die Punkte verdeutlichen wo wir überhaupt hinwollen.
Weiß jemand Rat?
Mit freundlichen Grüßen,
Highchiller
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> H9. Beweisen Sie die Dreiecksungleichung für die chordale
> Metrik
> [mm]|\xi , \eta| = \frac{2 |\xi - \eta|}{\sqrt{\xi^2+1}\sqrt{\eta^2+1}}[/mm]
>
> auf [mm]\IR[/mm].
> Also eigentlich läuft das ganz gut. Aber an einem Punkt
> bleib ich ständig hängen. Im Internet hab ich einen Tipp
> gefunden, das ganze zum Quadrat zu betrachten. Aber damit
> kam ich auch nicht weiter.
>
> Also so mein stand der Dinge:
> Übrigens verwende ich der Einfachheit halber:
> [mm]\xi := x; \eta := y[/mm]
>
> [mm]|x , y| = \frac{2 |x - y|}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}} = \frac{2 |x - z + z - y|}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}} \leq \frac{2 |x - z|+ 2|z-y|}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}} = \frac{2 |x - z|}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}} + \frac{2 |z - y|}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}} \leq ... \leq \frac{2 |x - z|}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{z^2+1}} + \frac{2 |z - y|}{\sqrt{z^2+1}\sqrt{y^2+1}} = |x,z| + |z,y|[/mm]
>
> Erklärung: Also zuerst wurde schlicht die Definition
> angewandt. Dann eine Produktive Null eingeführt und mit
> der Dreiecksungleichung aus [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
einfach nach oben
> abgeschätzt.
> Damit haben wir schon mal sehr schön genau den Zähler so
> wie wir ihn haben wollen. ABER! Den Nenner bekomm ich
> einfach nicht umgestellt. Was ich auch bewerkstellige.
>
> Die Punkte verdeutlichen wo wir überhaupt hinwollen.
>
> Weiß jemand Rat?
>
> Mit freundlichen Grüßen,
> Highchiller
Hallo Highchiller,
ich bin mal dem Tipp mit dem Quadrieren gefolgt. Dazu
zunächst Abkürzungen für die Abstände:
w:=d(x,y) ; u:=d(x,z) ; v:=d(z,y)
Zu zeigen ist, dass w\le{u+v} ist. Da alle Abstände $\ge0$ sind,
ist dies äquivalent zu $\ w^2\le{u^2+v^2+2\,u\,v$ .
Durch Einsetzen der Abstandsdefinition und nach einer
längeren Serie von Umformungen komme ich dann auf
die noch zu zeigende Ungleichung
$\ (x-z)*(y-z)*(x*y+1)+|x-z|*|y-z|*\sqrt{x^2+1}*\sqrt{y^2+1}\ge0$
Das sollte nicht mehr so schwer zu zeigen sein.
Nebenbei: weiß jemand, warum man hier von einer
"chordalen" Metrik spricht ?
LG Al-Chw.
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| Aufgabe | Wie erreichst du:
$ \ [mm] (x-z)\cdot{}(y-z)\cdot{}(x\cdot{}y+1)+|x-z|\cdot{}|y-z|\cdot{}\sqrt{x^2+1}\cdot{}\sqrt{y^2+1}\ge0 [/mm] $ |
Also deine Formel zu beweisen hab ich hinbekommen. Bzw. zu zeigen, dass deine Formel größer gleich 0 ist.
Aber ich komm einfach bis zu dieser Formel. Mein letzte Zeile schaut wie folgt aus:
[mm] $4|x-y|^2(z^2+1) \geq 4|x-z|^2(y^2+1) [/mm] + [mm] 4|y-z|^2(x^2+1) [/mm] + [mm] 8|x-z||y-z|\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}$
[/mm]
Und nun? o.O
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> Wie erreichst du:
> [mm]\ (x-z)\cdot{}(y-z)\cdot{}(x\cdot{}y+1)+|x-z|\cdot{}|y-z|\cdot{}\sqrt{x^2+1}\cdot{}\sqrt{y^2+1}\ge0[/mm]
>
> Also deine Formel zu beweisen hab ich hinbekommen. Bzw. zu
> zeigen, dass deine Formel größer gleich 0 ist.
>
> Aber ich komm einfach bis zu dieser Formel. Mein letzte
> Zeile schaut wie folgt aus:
> [mm]4|x-y|^2(z^2+1) \geq 4|x-z|^2(y^2+1) + 4|y-z|^2(x^2+1) + 8|x-z||y-z|\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}[/mm]
>
> Und nun? o.O
Bestimmt kannst du mal alles durch 4 dividieren.
Ferner gilt z.B. [mm] |x-y|^2=(x-y)^2=x^2+y^2-2*x*y [/mm]
Analog kann man weitere Terme ausmultiplizieren und dann
manches zusammenfassen.
Ob deine Ungleichung soweit stimmt, habe ich jetzt aber
nicht kontrolliert. Aber du bist auf dem richtigen Weg.
LG Al-Chw.
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Es will einfach nicht hinhauen. Ich werd noch Wahnsinnig. Deine Rechnung hast du nicht zufällig irgendwo schriftlich? *liebäugel*
Also vor allem seh ich einfach nicht durch mit den Vorzeichen. Noch weiter vereinfacht und zusammengefasst schaut das ganze aus wie ein Schlachtfeld. Hier mein letzter Auszug:
[mm] $-xyz^2+xy^2z+x^2yz [/mm] - [mm] x^2y^2 [/mm] - xy + xz + yz - [mm] z^2 \geq |x-z||z-y|\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}$
[/mm]
Wie gesagt, steht ja rechts schon genau ein Term deiner Umformung. Aber wenn ich den rüberziehe, hat er ein falsches Vorzeichen.
Noch schlimmer ist ja dieses Wirrwar auf der momentan linken Seite. Ich muss aber gestehen ich hab es noch nicht mit der Brechstange versucht und es einfach so ausgeklammert wie bei dir.
Immerhin, wenn ich [mm] $z^2$ [/mm] ausklammer. Bekomm ich immerhin den Term $(xy + 1)$ den deine Rechnung ja auch enthält. Aber es will einfach nicht klappen.
PS: Was deine Anfrage nach "chordal" angeht. Ich weiß es leider auch nicht. Die wurde nur kurz bei der Übung eingeführt und jetzt halt in einer Hausaufgabe. Was es mit dem Namen auf sich hat... keinen Schimmer
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> Deine Rechnung hast du nicht zufällig irgendwo
> schriftlich? *liebäugel*
Hier ein Scan meiner Notizen dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Also vor allem seh ich einfach nicht durch mit den
> Vorzeichen. Noch weiter vereinfacht und zusammengefasst
> schaut das ganze aus wie ein Schlachtfeld. Hier mein
> letzter Auszug:
> [mm]-xyz^2+xy^2z+x^2yz - x^2y^2 - xy + xz + yz - z^2 \geq |x-z||z-y|\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}[/mm]
Ich denke, dass das schon ganz gut aussieht. Nur - ganz
zentral - die Richtung der Ungleichung scheint verkehrt
zu sein ...
> Wie gesagt, steht ja rechts schon genau ein Term deiner
> Umformung. Aber wenn ich den rüberziehe, hat er ein
> falsches Vorzeichen.
> Noch schlimmer ist ja dieses Wirrwar auf der momentan
> linken Seite. Ich muss aber gestehen ich hab es noch nicht
> mit der Brechstange versucht und es einfach so
> ausgeklammert wie bei dir.
Zur Faktorisierung des Terms auf der linken Seite habe
ich kurz das CAS engagiert.
> PS: Was deine Anfrage nach "chordal" angeht. Ich weiß es
> leider auch nicht. Die wurde nur kurz bei der Übung
> eingeführt und jetzt halt in einer Hausaufgabe. Was es mit
> dem Namen auf sich hat... keinen Schimmer
"Chorda" heißt ja "Saite", "Sehne". Ich habe nachgeschaut.
Es hat wohl mit einer Sehne der Riemannschen Zahlenkugel
zu tun.
LG Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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BOAH!!! Ich Idiot.
Tut mir so leid dich damit noch belästigt zu haben. Ich hab von Anfang an einfach die Ungleichung vertauscht. Keine Ahnung warum. Ich hab mich so auf diese Umrechnungen gestürzt das mir der Fehler GANZ am Anfang gar nicht aufgefallen ist.
Vielen vielen dank für die Mühe. Ist alles richtig. (Bei meinen Zwischenschritten einfach das Ungleichheitszeichen verdrehen, fertig.)
Liebe Grüße, Highchiller
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Die euklidische Distanz dist(x,y) für zwei reelle Zahlen ist
$\ dist(x,y)\ =\ |x-y|$
Die "chordale Distanz" chord(x,y) für zwei reelle Zahlen ist
$\ chord(x,y)\ =\ [mm] \frac{2\ |x - y|}{\sqrt{x^2+1}\ \sqrt{y^2+1}}$
[/mm]
Ich habe die beiden Metriken in einer Zeichnung dargestellt.
Die waagrechte Achse stellt die reelle Achse dar, auf der die
Zahlen x und y beheimatet sind.
Der Einheitskreis k um den Nullpunkt O dient zur Konstruktion.
Man projiziert die beiden Punkte X(x|0) und Y(y|0) durch
Zentralprojektion ("stereographische Projektion") auf den
Kreis k. Die euklidische Distanz (in [mm] \IR^2\,) [/mm] zwischen den projizierten
Punkten KX und KY ist dann die "chordale Distanz" von X und Y.
Die euklidische Distanz dist(x,y) ist natürlich einfach die
Länge der auf der reellen Achse liegenden Strecke [mm] \overline{XY}.
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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