Coabzählbar < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega [/mm] eine überabzählbare Menge und F das System aller abzählbaren oder coabzählbaren (d.h. das Komplement ist abzählbar) Teilmengen von [mm] \Omega. [/mm] Wir wissen, dass F eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist.
Zeigen Sie, dass eine numerische Funktion [mm] \Omega \to \overline{\IR} [/mm] genau dann messbar ist, wenn sie auf einer (von einer FUnktionabhängigen) coabzählbaren Menge konstant ist. |
Hier weiß ich im Moment nicht weiter. Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]\Omega[/mm] eine überabzählbare Menge und F das System aller
> abzählbaren oder coabzählbaren (d.h. das Komplement ist
> abzählbar) Teilmengen von [mm]\Omega.[/mm] Wir wissen, dass F eine
> [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist.
>
> Zeigen Sie, dass eine numerische Funktion [mm]\Omega \to \overline{\IR}[/mm]
> genau dann messbar ist, wenn sie auf einer (von einer
> FUnktionabhängigen) coabzählbaren Menge konstant ist.
> Hier weiß ich im Moment nicht weiter. Hilfe!
weil Du nichts weiter dazugeschrieben hast, bin ich mir nicht sicher, ob Du die Aufgabenstellung verstehst. Daher denke ich, ist es sinnvoll, Dir in einem ersten Schritt erstmal klar zu machen, was eigentlich von Dir hier verlangt wird:
Dort steht eine "genau dann, wenn"-Aussage, das heißt, Du hast zwei Sachen zu zeigen:
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Hier wird vorausgesetzt, dass eine jede numerische Funktion [mm] $\Omega \to \overline{\IR}$ [/mm] messbar ist, und zu zeigen ist, dass es eine co-abzählbare Menge gibt, auf der die betrachtete numrische Funktion konstant ist.
Nehmen wir also eine solche numerische Funktion her und nennen diese $f: [mm] \Omega \to \overline{\IR}$. [/mm] Die Funktion ist nach Voraussetzung messbar. Es ist nun zu beweisen, dass es eine Konstante [mm] $c=c_f \in \overline{\IR}$ [/mm] so gibt, dass [mm] $f^{-1}(\{c\}) \in [/mm] F$ coabzählbar ist (das ist trivial, falls $f=const$; sei also $f [mm] \not=const$...)...
[/mm]
[mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Auch hier nehmen wir wieder irgendeine numerische Funktion $f: [mm] \Omega \to \overline{\IR}$ [/mm] her. Nach Voraussetzung existiert hier nun eine Zahl $c [mm] \in \overline{\IR}$ [/mm] derart, dass [mm] $f^{-1}(\{c\}) \in [/mm] F$ coabzählbar ist. Zu zeigen ist nun, dass für eine jede Menge $M [mm] \in B(\overline{\IR})$ [/mm] auch gilt:
[mm] $f^{-1}(M) \in [/mm] F$
Also:
Entweder ist [mm] $f^{-1}(M)$ [/mm] dann abzählbar, oder [mm] $f^{-1}(M)$ [/mm] ist coabzählbar.
P.S.:
Zu den einzelnen Beweisteilen habe ich mir hier noch keine Gedanken gemacht. Sinnvoll ist es jedenfalls immer, wenn man auf direktem Wege nicht weiterkommt, zu testen, ob vll. ein Beweis durch Widerspruch oder ein Beweis durch Kontraposition sinnvoll ist. Aber darüber nachzudenken ist jetzt eigentlich erstmal Deine Aufgabe...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | Mir ist das schon alles klar. Und so habe ich auch angefangen, aber gerade an dem Rest fehlt mir die Idee! |
Mir ist das schon alles klar. Und so habe ich auch angefangen, aber gerade an dem Rest fehlt mir die Idee
|
|
|
| |
|
Natürlich reicht es, Intervalle der Form [mm] ]-\infty,a], a\in \IR [/mm] zu betrachten und zu zeigen, dass
[mm] f^{-1}(]-\infty,a]) \in [/mm] F für alle [mm] a\in \IR [/mm] (oder auch [mm] \IQ) [/mm]
zu zeigen. Das ist diese Erzeugergeschichte!
Aber wie zeige ich das!
|
|
|
| |
|
Zu =>:
Sei also [mm] f^{-1}(]-\infty,a])=A:
[/mm]
a) Ist A abzählbar, so ist A [mm] \in [/mm] F. Fertig
b) Ist A überabzählbar, so müssen wir dafür sogen, dass [mm] A^c [/mm] abzählbar ist (das ist ja im Allg. nicht so)... Und daraus muss man doch folgern können, dass f die Konstanzeigenschaft hat. Oder??? Jemand eine Idee??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 23.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
