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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 So 12.02.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Es sei $f [mm] \in C²(\IR)$.
[/mm]
Angenommen f habe die Eigenschaft $f''(x)=-f(x)$ für alle x [mm] \in \IR [/mm] und es gelte $f(0)=1$ sowie $f'(0)=0$.
(a) Begründen Sie, dass $f [mm] \in C^{\infty}(\IR)$ [/mm] ist, und bestimmen Sie das n-te Taylorpolynom [mm] $T_{n,f,0}(x)$.
[/mm]
(b) Zeigen Sie, dass für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}|f(x)-T_{n,f,0}(x)|=0$ [/mm] und damit $f(x)= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}T_{n,f,0}(x)= \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}*x^{2k}$ [/mm] für alle x [mm] \in \IR. [/mm] |
Ok,
ich weiss zwar dass f(x)=cos(x) sein muss, aber ich weiß nicht ob ich das hier annehmen kann. Kann ich es mir einfach so definieren ???
Wenn ja. Wieso darf ich das ?
Weil dann kann ich ja cos(x) als Reihe schreiben, ableiten und zeigen, dass die Eigenschaften gelten.
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> Es sei [mm]f \in C²(\IR)[/mm].
> Angenommen f habe die Eigenschaft
> [mm]f''(x)=-f(x)[/mm] für alle x [mm]\in \IR[/mm] und es gelte [mm]f(0)=1[/mm] sowie
> [mm]f'(0)=0[/mm].
> (a) Begründen Sie, dass [mm]f \in C^{\infty}(\IR)[/mm] ist, und
> bestimmen Sie das n-te Taylorpolynom [mm]T_{n,f,0}(x)[/mm].
> (b) Zeigen Sie, dass für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|f(x)-T_{n,f,0}(x)|=0[/mm] und
> damit [mm]f(x)= \limes_{n\rightarrow\infty}T_{n,f,0}(x)= \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}*x^{2k}[/mm]
> für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
> Ok,
> ich weiss zwar dass f(x)=cos(x) sein muss, aber ich weiß
> nicht ob ich das hier annehmen kann. Kann ich es mir
> einfach so definieren ???
> Wenn ja. Wieso darf ich das ?
> Weil dann kann ich ja cos(x) als Reihe schreiben, ableiten
> und zeigen, dass die Eigenschaften gelten.
Hallo.
Was Du zeigen mußt, ist, daß hier der Satz von Taylor anwendbar ist.
Daß hier am Ende eine Reihe rauskommt, die durch Zufall auf ganz [mm] $\mathbb [/mm] R$ den Namen "Cosinus" bekommen hat, ist eigentlich irrelevant.
Warum !muß! denn hier $f$ [mm] $\mathcal C^\infty$ [/mm] sein?
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Mo 13.02.2006 | | Autor: | DeusRa |
Aber wie tue ich dieses ??
Kann mit der Aufgabe erstmal nicht viel anfangen, wenn ich nicht annehmen kann, dass f=cos ist !
Wäre um Hilfestellung dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Di 14.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Rados
Ich hoff du weissst wie ne Taylorreihe um 0 geht!
Du hast f(0) und f'(0) gegeben. und die Dgl sagt dir f''(0)=-f(0) dann f'''(0)=-f'(0) usw. Dann schreib doch eingfach damit die Taylorreihe hin. Die nte Ableitung mit Induktion!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Di 14.02.2006 | | Autor: | DeusRa |
Ok,
danke schon mal für den Tipp.
Noch eine Frage zu a) "Begründen Sie, dass f [mm] \in C^{\infty}(\IR) [/mm] ist.
Ehm, ich habe da schon eine Idee, weiss jedoch nicht ob das genügt.
Also:
Da f [mm] \in C^{2}(\IR) [/mm] gilt [mm] \Rightarrow [/mm] f', f'' existent.
Mit f''(x)=-f(x) folgt:
-f''(x)=--f(x)=f(x)
Daraus folgt: f [mm] \in C^{4}(\IR) [/mm] mit [mm] f^{(k)}(x)=f^{(k-4)}(x)=f^{(k-8)}(x)=...=f^{(4)}(x)=f^{(0)}(x) [/mm] für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Induktiv folgt daraus, dass es für alle k [mm] \in \IN [/mm] gilt, somit f [mm] \in C^{\infty}(\IR). [/mm] Ist das ok ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Di 14.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Rados
> Ok,
> danke schon mal für den Tipp.
> Noch eine Frage zu a) "Begründen Sie, dass f [mm]\in C^{\infty}(\IR)[/mm]
> ist.
>
> Ehm, ich habe da schon eine Idee, weiss jedoch nicht ob das
> genügt.
> Also:
> Da f [mm]\in C^{2}(\IR)[/mm] gilt [mm]\Rightarrow[/mm] f', f'' existent.
> Mit f''(x)=-f(x) folgt:
> -f''(x)=--f(x)=f(x)
Warum das? f'''=-f' existiert f''''=-f''=f existiert.
jetzt folgt die Induktion: über je 2 Schritte.
aber ordentlich durchgeführt, und nicht einfach so hingeschrieben wie du es hier hast.
> Daraus folgt: f [mm]\in C^{4}(\IR)[/mm] mit
> [mm]f^{(k)}(x)=f^{(k-4)}(x)=f^{(k-8)}(x)=...=f^{(4)}(x)=f^{(0)}(x)[/mm]
> für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
> Induktiv folgt daraus, dass es für
> alle k [mm]\in \IN[/mm] gilt, somit f [mm]\in C^{\infty}(\IR).[/mm] Ist das
Mir ist das zu Durcheinander, aber vom Prinzip her richtig
Gruss leduart
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