Coulombpotential < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Di 13.11.2012 | | Autor: | Duckx |
| Aufgabe | Das Coulombpotential zwischen 2 gleich geladenen Ionen mit der Ladung q ist gegeben durch [mm] $V(r)=\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0}\frac{e^{?r}}{r}$
[/mm]
Ich soll nun die Kraft $F(r)=-gradV(r)$ berechnen. |
Welche Variable gehört an Stelle des Fragezeichens? Ich kann das nicht erkennen. Vielleicht kann sich das jemand ja denken.
Der Nabla Operator einer skalaren funktion wird ja so berechnet:
[mm] $\vec{\bigtriangledown} V(r)=(\frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z})$
[/mm]
Allerdings weiß ich nicht, woher ich x y und z bekomme?
Es wäre nett wenn mir das jemand verständlich und relativ einfach erklären kann.
mfg Duckx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Di 13.11.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Das Coulombpotential zwischen 2 gleich geladenen Ionen mit
> der Ladung q ist gegeben durch [mm]V(r)=\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0}\frac{e^{?r}}{r}[/mm]
das ist nicht das Potential, sondern die potentielle Energie. In der Physik werden die Begriffe oft synonym verwendet, das ist aber nicht korrekt.
>
> Ich soll nun die Kraft [mm]F(r)=-gradV(r)[/mm] berechnen.
> Welche Variable gehört an Stelle des Fragezeichens? Ich
> kann das nicht erkennen. Vielleicht kann sich das jemand ja
> denken.
Eigentlich gehört dort überhaput keine e-Fkt. hin, wenn es sich um die Coulombenergie handeln soll.
> Der Nabla Operator einer skalaren funktion wird ja so
> berechnet:
> [mm]\vec{\bigtriangledown} V(r)=(\frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z})[/mm]
Nicht der 'Nabla-Operator' sondern der Gradient.
>
> Allerdings weiß ich nicht, woher ich x y und z bekomme?
Aus dem Abstand, der ist r und das ist der Betrag des Ortsvektors
> Es wäre nett wenn mir das jemand verständlich und
> relativ einfach erklären kann.
> mfg Duckx
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 13.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Es ist das abgeschirmte Coulombpotential steht in der aufgabe. Ich schätze es ist
$ [mm] V(r)=\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0}\frac{e^{-\lambda r}}{r} [/mm] $
wobei e die elementarladung ist?
Kann mir jemand den Gradienten eventuell kurz vorrechnen?
Ich kann es ohne ein Beispiel leider nicht lösen.
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Hallo!
nein, hier steht das e für die e-Funktion. Die Ladung steckt im q.
Die e-Funktion sorgt dafür, daß dein Potential schon nach sehr kurzer Entfernung so fast null wird, wie schnell, hängt von der Größe des Werts [mm] \lambda [/mm] ab. Jedenfalls klingt es einleuchtend, daß das eine abgeschirmte Ladung beschreibt.
Zur Aufgabe:
Du solltest wissen, daß es die allgemeine Konvention
[mm] r^2=x^2+y^2+z^2
[/mm]
bzw
[mm] r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
[/mm]
gibt. Damit solltest du in der Lage sein, den Gradienten zu berechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Di 13.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Tut mir leid, aber soetwas habe ich noch nie zuvor gemacht und ich weiß nicht, wie man so einen komplizierten Eindruck integrieren soll.
Könnten Sie mir das evt. einmal mit x vormachen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Di 13.11.2012 | | Autor: | notinX |
> Tut mir leid, aber soetwas habe ich noch nie zuvor gemacht
Das wird Dir im Leben noch öfter passieren.
> und ich weiß nicht, wie man so einen komplizierten
> Eindruck integrieren soll.
Das weiß ich auch nicht. Meinst Du vielleicht 'Ausdruck'? Außerdem sollst Du differenzieren, nicht integrieren.
> Könnten Sie mir das evt. einmal mit x vormachen?
Wo hängts denn genau? Den Faktor kannst Du zum Ableiten außer Acht lassen, also hast Du eine Funktion:
[mm] $f(x)=\frac{\mathrm{exp}(-\lambda\sqrt{x^2+y^2+z^2})}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$
[/mm]
Jetzt ist die Ableitung nach x zu berechnen, dabei kannst Du y und z als konstant betrachten. Alles was Du dazu brauchst sind Quotienen- (bzw. Produkt-) und Kettenregel. Das sollte eigentlich kein Problem sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Di 13.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Den Nenner bekomme ich ja noch hin. Aber wie gehe ich vor wenn ich den Zähler differenzieren möchte?
kann ich dort auch erstmal die Kettenregel auf $\wurzel{x^2+y^2+z^2}$ anwenden ?
das wäre doch:
$-\frac{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}$ oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Di 13.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ok laut kettenregel ist:
$f'=\frac{u'\cdot{}v - v'\cdot{} u}{v^2}$
$u=e^{-\lambda \wurzel{x^2+y^2+z^2}}$
$u'=\frac{\lambda x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}\cdot{}e^{-\lambda \wurzel{x^2+y^2+z^2}}
$v=\wurzel{x^2+y^2+z^2}$
$v'=-\frac{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}$
$f'=\frac{\lambda x \cdot{} e^{-\lambda \wurzel{x^2+y^2+z^2}} + \frac{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}} \cdot{} e^{-\lambda\wurzel{x^2+y^2+z^2}}}{x^2+y^2+z^2}$
Ist es soweit richtig? Kann man das womöglich noch vereinfachen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Di 13.11.2012 | | Autor: | notinX |
> ok laut kettenregel ist:
> [mm]f'=\frac{u'\cdot{}v - v'\cdot{} u}{v^2}[/mm]
> [mm]u=e^{-\lambda \wurzel{x^2+y^2+z^2}}[/mm]
Du scheinst mit den Begrifflichkeiten etwas durcheinander zu sein - das ist die Quotientenregel.
>
> [mm]$u'=\frac{\lambda x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}}\cdot{}e^{-\lambda \wurzel{x^2+y^2+z^2}}[/mm]
Jetzt ist fehlt einminus und das kann man so verkürzen:
[mm] $u'=-\frac{\lambda xe^{-\lambda r}}{r}
[/mm]
>
> [mm]v=\wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]
> [mm]v'=-\frac{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]
Hier muss es weg.
> [mm]f'=\frac{\lambda x \cdot{} e^{-\lambda \wurzel{x^2+y^2+z^2}} + \frac{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}} \cdot{} e^{-\lambda\wurzel{x^2+y^2+z^2}}}{x^2+y^2+z^2}[/mm]
>
> Ist es soweit richtig? Kann man das womöglich noch
> vereinfachen?
Bis auf die Vorzeichen sieht es gut aus. Im Zähler kannst Du noch die e-Fkt. und x ausklammern und den Bruch im Zähler beseitigen indem Du ihn auf einen Nenner bringst (also den ersten Term mit [mm] \frac{1}{r} [/mm] erweitern).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Di 13.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Oh ja tut mir leid, da war ich wohl verwirrt.
hab ich das dann richtig gemacht, wenn für [mm] $f'=\frac{x\cdot{}e^{-\lambda r}\cdot{} (-\lambda r-1)}{r^3}$ [/mm] raus kommt?
Das Ergebnis wär dann doch auch äquivalent zur ableitung dy und dz oder? Also ich erstze einfach x durch y bzw. z?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Mi 14.11.2012 | | Autor: | notinX |
> Oh ja tut mir leid, da war ich wohl verwirrt.
> hab ich das dann richtig gemacht, wenn für
> [mm]f'=\frac{x\cdot{}e^{-\lambda r}\cdot{} (-\lambda r-1)}{r^3}[/mm]
> raus kommt?
Mach das zweite Minus zu einem Plus, dann stimmts.
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> Das Ergebnis wär dann doch auch äquivalent zur ableitung
> dy und dz oder? Also ich erstze einfach x durch y bzw. z?
Genau.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Ok dankeschön :)
Da F(x)= -grad V(x) ist, muss ich da noch bei den 3 Komponenen ein - schreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Mi 14.11.2012 | | Autor: | notinX |
> Ok dankeschön :)
> Da F(x)= -grad V(x) ist, muss ich da noch bei den 3
> Komponenen ein - schreiben?
Ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Wieso das 2. minus zu einem Plus?
[mm] $f'=\frac{u'v-v'u}{v^2}$
[/mm]
Von daher ist das - doch richtig oder was habe ich übersehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:02 Do 15.11.2012 | | Autor: | notinX |
> Wieso das 2. minus zu einem Plus?
> [mm]f'=\frac{u'v-v'u}{v^2}[/mm]
>
> Von daher ist das - doch richtig oder was habe ich
> übersehen?
Ja, du hast Recht. Ich habe mich vertan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Di 13.11.2012 | | Autor: | notinX |
> Den Nenner bekomme ich ja noch hin. Aber wie gehe ich vor
> wenn ich den Zähler differenzieren möchte?
> kann ich dort auch erstmal die Kettenregel auf
> [mm]\wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm] anwenden ?
> das wäre doch:
> [mm]-\frac{x}{\wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm] oder?
Mach das minus weg, dann stimmts.
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