DFG + Annulator < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Fr 01.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gegeben ist folgendes System
Ly=y''''+2y'''-3y''
b(x)=36+162*x*e^(3x)
a) finden sie alle Lösungen von Ly=0
b) Finden Sie mit Hilfe der Annulatoren/Annihilatoren das allgemeine Integral von Ly=b |
Hallo alle zusammen
Ich hoffe ihr könnt mir einen kleinen Ratschlag geben bei folgendem Beispiel:
Also Punkt a) ist kein Problem:
Ly = 0
[mm] \lambda^{4}+2*\lambda^{3}-3*\lambda^2=0
[/mm]
[mm] \lambda^2*(\lambda^2+2*\lambda-3)=0
[/mm]
[mm] \lambda_1= [/mm] 0 (Anzahl 2 bedingt durch Hochzahl 2)
[mm] \lambda_2=1
[/mm]
[mm] \lambda_3=-3
[/mm]
Die Lösung für Punkt a) lautet
[mm] y(x)=c_0+c_1*x+c_2*e^x+c_3*e^{-3*x}
[/mm]
Nun bei Punkt b) habe ich etwas mehr Schwierigkeiten
Finden wir den Annulator für b,dieser ist:
Ab=0
A=> [mm] D*(D-3)^2 [/mm] <=> [mm] \lambda*(\lambda-3)^2
[/mm]
AL(y)=0
um anschließend auf L(y)=b zu kommen
AL(y)=0
[mm] \lambda*(\lambda-3)^2*(\lambda^{4}+2*\lambda^{3}-3*\lambda^2)=0
[/mm]
wieder mit Lösungen
[mm] \lambda_1= [/mm] 0 (Anzahl 2 bedingt durch Hochzahl 2)
[mm] \lambda_2=1
[/mm]
[mm] \lambda_3=-3
[/mm]
[mm] \lambda_4=3
[/mm]
gut nun setze ich zusammen:
[mm] yp=c_0+c_1*x+c2*e^x+c_3*e^{-3*x}+c_4*e^{3x}
[/mm]
Jetzt (so auch bei anderen Beispielen die mir vorliegen) wird immer folgendes getan, die Ergebnisse
[mm] \lambda_1= [/mm] 0
[mm] \lambda_2=1
[/mm]
[mm] \lambda_3=-3
[/mm]
Sind linear voneinander abhängig, sie werden in der Lösung yp eliminiert durch
[mm] c_0=c_2=c_3=0
[/mm]
damit bleibt mir:
[mm] yp=c_1*x+c_4*e^{3x}
[/mm]
Ich differenziere nun um auf Lyp=b zu kommen mein yp (durch den Operator D)
[mm] Dyp=b1+3*b_4*e^{3x}
[/mm]
[mm] D^2yp=9*b_4*e^{3x}
[/mm]
[mm] D^3yp=27*b_4*e^{3x}
[/mm]
[mm] D^4yp=81*b_4*e^{3x}
[/mm]
und setze erhaltenes Ergebnis in meine Ausgangsformel (y''''+2y'''-3y'' = [mm] D^4+2D^3-3D^2) [/mm] ein:
[mm] 81*b_4*e^{3x}+2*27*b_4*e^{3x}-3*9*b_4*e^{3x} [/mm] = [mm] 36+162*x*e^{3x}
[/mm]
Gut, hier sollte ich nach b4 auflösen, was aber nicht möglich ist (ganz zu schweigen davon, dass das Ergebnis - also das richtige - folgendermaßen aussehen sollte):
[mm] y(x)=c_0+c_1*x+c2*e^x+c_3*e^{-3*x}-6x^2-2e^{3x}+3/2*x*e^{3x}
[/mm]
Nun ich denke mein Fehler liegt irgendwo in den letzten Zeilen (Streichen der linear voneinander abhängigen Lösungen ...)
Vielen Dank
lg
Zuggel
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Hallo Zuggel,
> Gegeben ist folgendes System
> Ly=y''''+2y'''-3y''
> b(x)=36+162*x*e^(3x)
>
> a) finden sie alle Lösungen von Ly=0
> b) Finden Sie mit Hilfe der Annulatoren/Annihilatoren das
> allgemeine Integral von Ly=b
> Hallo alle zusammen
> Ich hoffe ihr könnt mir einen kleinen Ratschlag geben bei
> folgendem Beispiel:
>
>
> Also Punkt a) ist kein Problem:
>
> Ly = 0
>
> [mm]\lambda^{4}+2*\lambda^{3}-3*\lambda^2=0[/mm]
> [mm]\lambda^2*(\lambda^2+2*\lambda-3)=0[/mm]
> [mm]\lambda_1=[/mm] 0 (Anzahl 2 bedingt durch Hochzahl 2)
> [mm]\lambda_2=1[/mm]
> [mm]\lambda_3=-3[/mm]
>
> Die Lösung für Punkt a) lautet
> [mm]y(x)=c_0+c_1*x+c_2*e^x+c_3*e^{-3*x}[/mm]
>
> Nun bei Punkt b) habe ich etwas mehr Schwierigkeiten
>
> Finden wir den Annulator für b,dieser ist:
> Ab=0
> A=> [mm]D*(D-3)^2[/mm] <=> [mm]\lambda*(\lambda-3)^2[/mm]
>
> AL(y)=0
> um anschließend auf L(y)=b zu kommen
>
> AL(y)=0
>
> [mm]\lambda*(\lambda-3)^2*(\lambda^{4}+2*\lambda^{3}-3*\lambda^2)=0[/mm]
>
> wieder mit Lösungen
> [mm]\lambda_1=[/mm] 0 (Anzahl 2 bedingt durch Hochzahl 2)
> [mm]\lambda_2=1[/mm]
> [mm]\lambda_3=-3[/mm]
>
> [mm]\lambda_4=3[/mm]
Die Lösung [mm]\lambda_{4}=0[/mm] ist zweifach.
Außerdem gibt es die Lösung [mm]\lambda_{5}=0[/mm], die jetzt dreifach vorliegt.
>
>
> gut nun setze ich zusammen:
>
> [mm]yp=c_0+c_1*x+c2*e^x+c_3*e^{-3*x}+c_4*e^{3x}[/mm]
Daher muss dies so lauten:
[mm]yp=c_0+c_1*x+c2*e^x+c_3*e^{-3*x}+c_4*e^{3x}+\blue{c_{5}*x*e^{3x}+c_{6}*x^{2}}[/mm]
>
> Jetzt (so auch bei anderen Beispielen die mir vorliegen)
> wird immer folgendes getan, die Ergebnisse
>
> [mm]\lambda_1=[/mm] 0
> [mm]\lambda_2=1[/mm]
> [mm]\lambda_3=-3[/mm]
Hier ist ausserdem zu beachten, daß [mm]\lambda_{1}=0[/mm] eine
doppelte Lösung der homogenen DGL ist.
>
> Sind linear voneinander abhängig, sie werden in der
> Lösung yp eliminiert durch
> [mm]c_0=c_2=c_3=0[/mm]
Hier muss es heißen:
[mm]c_{0}=c_{1}=c_{2}=c_{3}=0 [/mm]
>
> damit bleibt mir:
>
> [mm]yp=c_1*x+c_4*e^{3x}[/mm]
Damit verbleibt
[mm]yp=c_4*e^{3x}+\blue{c_{5}*x*e^{3x}+c_{6}*x^{2}}[/mm]
>
> Ich differenziere nun um auf Lyp=b zu kommen mein yp (durch
> den Operator D)
>
> [mm]Dyp=b1+3*b_4*e^{3x}[/mm]
> [mm]D^2yp=9*b_4*e^{3x}[/mm]
> [mm]D^3yp=27*b_4*e^{3x}[/mm]
> [mm]D^4yp=81*b_4*e^{3x}[/mm]
>
> und setze erhaltenes Ergebnis in meine Ausgangsformel
> (y''''+2y'''-3y'' = [mm]D^4+2D^3-3D^2)[/mm] ein:
>
> [mm]81*b_4*e^{3x}+2*27*b_4*e^{3x}-3*9*b_4*e^{3x}[/mm] =
> [mm]36+162*x*e^{3x}[/mm]
>
> Gut, hier sollte ich nach b4 auflösen, was aber nicht
> möglich ist (ganz zu schweigen davon, dass das Ergebnis -
> also das richtige - folgendermaßen aussehen sollte):
>
>
> [mm]y(x)=c_0+c_1*x+c2*e^x+c_3*e^{-3*x}-6x^2-2e^{3x}+3/2*x*e^{3x}[/mm]
>
>
> Nun ich denke mein Fehler liegt irgendwo in den letzten
> Zeilen (Streichen der linear voneinander abhängigen
> Lösungen ...)
>
> Vielen Dank
> lg
> Zuggel
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Fr 01.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
Halle MathePower
> >
> [mm]\lambda*(\lambda-3)^2*(\lambda^{4}+2*\lambda^{3}-3*\lambda^2)=0[/mm]
> >
> > wieder mit Lösungen
> > [mm]\lambda_1=[/mm] 0 (Anzahl 2 bedingt durch Hochzahl 2)
> > [mm]\lambda_2=1[/mm]
> > [mm]\lambda_3=-3[/mm]
> >
> > [mm]\lambda_4=3[/mm]
>
>
> Die Lösung [mm]\lambda_{4}=0[/mm] ist zweifach.
>
> Außerdem gibt es die Lösung [mm]\lambda_{5}=0[/mm], die jetzt
> dreifach vorliegt.
>
>
> Daher muss dies so lauten:
>
> [mm]yp=c_0+c_1*x+c2*e^x+c_3*e^{-3*x}+c_4*e^{3x}+\blue{c_{5}*x*e^{3x}+c_{6}*x^{2}}[/mm]
>
>
- Aus einem bin ich noch nicht ganz schlau geworden
Ich beziehe mich jetzt nicht explizit auf dieses Beispiel, der Einfachheit halber
Ich habe eine Lösung
[mm] \lambda_1=0 [/mm] nehmen wir 3 mal
[mm] \lambda_2=2 [/mm] nehmen wir 2 mal
[mm] \lambda_3=3 [/mm] nehmen wir 1 mal
so habe ich folgendes:
[mm] y(x)=c_0*e^0+c_1*X*e^0+c_2*X^2*e^0+c_3*e^2+c_4*X*e^2+c5*e^3
[/mm]
oder gehe ich hier falsch in der Annahme?
Wie funktioniert des denn bei Komplexen Lösungen, immer der gleiche Weg mit [mm] 1,x,x^2?
[/mm]
Also:
[mm] \lambda_1=1\pm [/mm] 3i nehmen wir 2 mal
[mm] \lambda_2=2 [/mm] nehmen wir 3 mal
[mm] \lambda_3=3 [/mm] nehmen wir 1 mal
- Ist eigentlich die Reihenfolge wie ich meine Lösungen mit den Konstanten [mm] c_i [/mm] multipliziere egal oder sollte man dabei etwas beachten? (Meine Erfahrung bis jetzt war, dass die Reihenfolge egal ist, jedoch will ich auch auf Nummer sicher gehen)
> Damit verbleibt
>
> [mm]yp=c_4*e^{3x}+\blue{c_{5}*x*e^{3x}+c_{6}*x^{2}}[/mm]
>
Bin gerade am Rechnen, zieht sich ganz schön in die Länge diese Rechnung...
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Hallo Zuggel,
> Halle MathePower
>
> > >
> >
> [mm]\lambda*(\lambda-3)^2*(\lambda^{4}+2*\lambda^{3}-3*\lambda^2)=0[/mm]
> > >
> > > wieder mit Lösungen
> > > [mm]\lambda_1=[/mm] 0 (Anzahl 2 bedingt durch Hochzahl 2)
> > > [mm]\lambda_2=1[/mm]
> > > [mm]\lambda_3=-3[/mm]
> > >
> > > [mm]\lambda_4=3[/mm]
> >
> >
> > Die Lösung [mm]\lambda_{4}=0[/mm] ist zweifach.
> >
> > Außerdem gibt es die Lösung [mm]\lambda_{5}=0[/mm], die jetzt
> > dreifach vorliegt.
> >
>
> >
> > Daher muss dies so lauten:
> >
> >
> [mm]yp=c_0+c_1*x+c2*e^x+c_3*e^{-3*x}+c_4*e^{3x}+\blue{c_{5}*x*e^{3x}+c_{6}*x^{2}}[/mm]
> >
> >
>
> - Aus einem bin ich noch nicht ganz schlau geworden
> Ich beziehe mich jetzt nicht explizit auf dieses Beispiel,
> der Einfachheit halber
>
> Ich habe eine Lösung
> [mm]\lambda_1=0[/mm] nehmen wir 3 mal
> [mm]\lambda_2=2[/mm] nehmen wir 2 mal
> [mm]\lambda_3=3[/mm] nehmen wir 1 mal
[mm]\lambda=3[/mm] kommt hier zweimal vor.
>
> so habe ich folgendes:
>
> [mm]y(x)=c_0*e^0+c_1*X*e^0+c_2*X^2*e^0+c_3*e^2+c_4*X*e^2+c5*e^3[/mm]
Das stimmt nicht ganz:
[mm]y(x)=c_0*e^0+c_1*X*e^0+c_2*X^2*e^0+c_3*e^{2x}+c_4*X*e^{2x}+c5*e^{3x}+\blue{c_{6}*X*e^{3x}}[/mm]
>
> oder gehe ich hier falsch in der Annahme?
>
> Wie funktioniert des denn bei Komplexen Lösungen, immer
> der gleiche Weg mit [mm]1,x,x^2?[/mm]
> Also:
>
> [mm]\lambda_1=1\pm[/mm] 3i nehmen wir 2 mal
> [mm]\lambda_2=2[/mm] nehmen wir 3 mal
> [mm]\lambda_3=3[/mm] nehmen wir 1 mal
Nun, da [mm]\lambda_{1}=1\pm 3i[/mm] doppelt und
[mm]\lambda_{2}=2[/mm] dreifach vorkommt, ergibt sich
[mm]yp\left(x\right)=c_{1}*e^{x}*\sin\left(3x\right)+c_{2}*e^{x}*\cos\left(3x\right)+c_{3}*x*e^{x}*\sin\left(3x\right)+c_{4}*x*e^{x}*\cos\left(3x\right)+c_{5}*e^{2x}+c_{6}*x*e^{2x}+c_{7}*x^{2}*e^{2x}+c_{8}*e^{3x}[/mm]
>
>
> - Ist eigentlich die Reihenfolge wie ich meine Lösungen
> mit den Konstanten [mm]c_i[/mm] multipliziere egal oder sollte man
> dabei etwas beachten? (Meine Erfahrung bis jetzt war, dass
> die Reihenfolge egal ist, jedoch will ich auch auf Nummer
> sicher gehen)
>
Die Reihenfolge der Lösungen ist egal.
>
> > Damit verbleibt
> >
> > [mm]yp=c_4*e^{3x}+\blue{c_{5}*x*e^{3x}+c_{6}*x^{2}}[/mm]
> >
>
>
>
> Bin gerade am Rechnen, zieht sich ganz schön in die Länge
> diese Rechnung...
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
> > - Aus einem bin ich noch nicht ganz schlau geworden
> > Ich beziehe mich jetzt nicht explizit auf dieses
> Beispiel,
> > der Einfachheit halber
> >
> > Ich habe eine Lösung
> > [mm]\lambda_1=0[/mm] nehmen wir 3 mal
> > [mm]\lambda_2=2[/mm] nehmen wir 2 mal
> > [mm]\lambda_3=3[/mm] nehmen wir 1 mal
>
>
> [mm]\lambda=3[/mm] kommt hier zweimal vor.
>
>
> >
> > so habe ich folgendes:
> >
> >
> [mm]y(x)=c_0*e^0+c_1*X*e^0+c_2*X^2*e^0+c_3*e^2+c_4*X*e^2+c5*e^3[/mm]
>
>
> Das stimmt nicht ganz:
>
> [mm]y(x)=c_0*e^0+c_1*X*e^0+c_2*X^2*e^0+c_3*e^{2x}+c_4*X*e^{2x}+c5*e^{3x}+\blue{c_{6}*X*e^{3x}}[/mm]
>
>
Hm wieso [mm] c_{6}*X*e^{3x}? \lambda_3=3 [/mm] kommt doch nur 1x heraus (wie gesagt ich beziehe mich jetzt nicht auf unser Beispiel sondern allgemein auf die Situation in der ich folgendes habe:
> > [mm]\lambda_1=0[/mm] nehmen wir 3 mal
> > [mm]\lambda_2=2[/mm] nehmen wir 2 mal
> > [mm]\lambda_3=3[/mm] nehmen wir 1 mal
> >
> > oder gehe ich hier falsch in der Annahme?
> >
> > Wie funktioniert des denn bei Komplexen Lösungen, immer
> > der gleiche Weg mit [mm]1,x,x^2?[/mm]
> > Also:
> >
> > [mm]\lambda_1=1\pm[/mm] 3i nehmen wir 2 mal
> > [mm]\lambda_2=2[/mm] nehmen wir 3 mal
> > [mm]\lambda_3=3[/mm] nehmen wir 1 mal
>
>
> Nun, da [mm]\lambda_{1}=1\pm 3i[/mm] doppelt und
> [mm]\lambda_{2}=2[/mm] dreifach vorkommt, ergibt sich
>
> [mm]yp\left(x\right)=c_{1}*e^{x}*\sin\left(3x\right)+c_{2}*e^{x}*\cos\left(3x\right)+c_{3}*x*e^{x}*\sin\left(3x\right)+c_{4}*x*e^{x}*\cos\left(3x\right)+c_{5}*e^{2x}+c_{6}*x*e^{2x}+c_{7}*x^{2}*e^{2x}+c_{8}*e^{3x}[/mm]
>
Perfekt, das dürfte sitzen. Vielen Dank!
Edit:
Was ich noch fragen wollte, weißt du zufällig eine Liste wo ich nachschlagen kann was zB der Annulator von
[mm] cos(\alpha [/mm] x)
[mm] sin(\alpha [/mm] x)
usw ist?Also von den bereits gesagten kenne ich den Annulator bereits, aber von anderen Funktionen wäre es oft ganz pracktisch!
lg
Zuggel
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Hallo Zuggel,
> > > - Aus einem bin ich noch nicht ganz schlau geworden
> > > Ich beziehe mich jetzt nicht explizit auf dieses
> > Beispiel,
> > > der Einfachheit halber
> > >
> > > Ich habe eine Lösung
> > > [mm]\lambda_1=0[/mm] nehmen wir 3 mal
> > > [mm]\lambda_2=2[/mm] nehmen wir 2 mal
> > > [mm]\lambda_3=3[/mm] nehmen wir 1 mal
> >
> >
> > [mm]\lambda=3[/mm] kommt hier zweimal vor.
> >
> >
> > >
> > > so habe ich folgendes:
> > >
> > >
> >
> [mm]y(x)=c_0*e^0+c_1*X*e^0+c_2*X^2*e^0+c_3*e^2+c_4*X*e^2+c5*e^3[/mm]
> >
> >
> > Das stimmt nicht ganz:
> >
> >
> [mm]y(x)=c_0*e^0+c_1*X*e^0+c_2*X^2*e^0+c_3*e^{2x}+c_4*X*e^{2x}+c5*e^{3x}+\blue{c_{6}*X*e^{3x}}[/mm]
> >
> >
>
>
> Hm wieso [mm]c_{6}*X*e^{3x}? \lambda_3=3[/mm] kommt doch nur 1x
> heraus (wie gesagt ich beziehe mich jetzt nicht auf unser
> Beispiel sondern allgemein auf die Situation in der ich
> folgendes habe:
> > > [mm]\lambda_1=0[/mm] nehmen wir 3 mal
> > > [mm]\lambda_2=2[/mm] nehmen wir 2 mal
> > > [mm]\lambda_3=3[/mm] nehmen wir 1 mal
>
Dann hat dieses [mm]c_{6}*X*e^{3x}[/mm] dort nix zu suchen.
>
>
> > >
> > > oder gehe ich hier falsch in der Annahme?
> > >
> > > Wie funktioniert des denn bei Komplexen Lösungen, immer
> > > der gleiche Weg mit [mm]1,x,x^2?[/mm]
> > > Also:
> > >
> > > [mm]\lambda_1=1\pm[/mm] 3i nehmen wir 2 mal
> > > [mm]\lambda_2=2[/mm] nehmen wir 3 mal
> > > [mm]\lambda_3=3[/mm] nehmen wir 1 mal
> >
> >
> > Nun, da [mm]\lambda_{1}=1\pm 3i[/mm] doppelt und
> > [mm]\lambda_{2}=2[/mm] dreifach vorkommt, ergibt sich
> >
> >
> [mm]yp\left(x\right)=c_{1}*e^{x}*\sin\left(3x\right)+c_{2}*e^{x}*\cos\left(3x\right)+c_{3}*x*e^{x}*\sin\left(3x\right)+c_{4}*x*e^{x}*\cos\left(3x\right)+c_{5}*e^{2x}+c_{6}*x*e^{2x}+c_{7}*x^{2}*e^{2x}+c_{8}*e^{3x}[/mm]
> >
>
> Perfekt, das dürfte sitzen. Vielen Dank!
>
>
> Edit:
>
> Was ich noch fragen wollte, weißt du zufällig eine Liste
> wo ich nachschlagen kann was zB der Annulator von
> [mm]cos(\alpha[/mm] x)
> [mm]sin(\alpha[/mm] x)
Nun, diese beiden Funktionen sind Lösungen der DGL
[mm]y''+\alpha^{2}*y=0[/mm],
so daß der Annulator A hier
[mm]D^{2}+\alpha^{2}[/mm]
lautet.
>
> usw ist?Also von den bereits gesagten kenne ich den
> Annulator bereits, aber von anderen Funktionen wäre es oft
> ganz pracktisch!
>
>
>
>
> lg
> Zuggel
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Di 05.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
Hallo Mathepower - Vielen Dank für deine Antworten
> > Edit:
> >
> > Was ich noch fragen wollte, weißt du zufällig eine Liste
> > wo ich nachschlagen kann was zB der Annulator von
> > [mm]cos(\alpha[/mm] x)
> > [mm]sin(\alpha[/mm] x)
>
>
> Nun, diese beiden Funktionen sind Lösungen der DGL
>
> [mm]y''+\alpha^{2}*y=0[/mm],
>
> so daß der Annulator A hier
>
> [mm]D^{2}+\alpha^{2}[/mm]
>
> lautet.
>
Ok, aber zB bei solchen Fällen wie im Beispiel:
b(x)= 36+162*x*e^(3x)
Ich betrachte das immer getrennt
D36=0
also haben wir D
Von [mm] x^{m-1}e^{\alpha x} [/mm] ist es [mm] (D-\alpha)^m
[/mm]
dann multipliziere ich [mm] D*(D-\alpha)^m [/mm] und ich habe Ab=0
aber in Fällen wie (nur als Beispiel aus anderer Übung entnommen)
-2*Cos(x)+4*x*sin(-x)
ist der Annulator "nur" folgender:
[mm] (D^2+(-1)^2)^2
[/mm]
Meine persönliche Lösung aber:
-2*Cos(x) => [mm] (D^2+1)
[/mm]
4*x*sin(-x) => [mm] (D^2+(-1)^2)^2
[/mm]
also:
[mm] (D^2+1)*(D^2+(-1)^2)^2
[/mm]
Wieso ist das so?
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Hallo Zuggel,
> Hallo Mathepower - Vielen Dank für deine Antworten
>
>
> > > Edit:
> > >
> > > Was ich noch fragen wollte, weißt du zufällig eine Liste
> > > wo ich nachschlagen kann was zB der Annulator von
> > > [mm]cos(\alpha[/mm] x)
> > > [mm]sin(\alpha[/mm] x)
> >
> >
> > Nun, diese beiden Funktionen sind Lösungen der DGL
> >
> > [mm]y''+\alpha^{2}*y=0[/mm],
> >
> > so daß der Annulator A hier
> >
> > [mm]D^{2}+\alpha^{2}[/mm]
> >
> > lautet.
> >
>
> Ok, aber zB bei solchen Fällen wie im Beispiel:
>
> b(x)= 36+162*x*e^(3x)
>
> Ich betrachte das immer getrennt
> D36=0
> also haben wir D
>
> Von [mm]x^{m-1}e^{\alpha x}[/mm] ist es [mm](D-\alpha)^m[/mm]
>
> dann multipliziere ich [mm]D*(D-\alpha)^m[/mm] und ich habe Ab=0
>
> aber in Fällen wie (nur als Beispiel aus anderer Übung
> entnommen)
>
> -2*Cos(x)+4*x*sin(-x)
> ist der Annulator "nur" folgender:
> [mm](D^2+(-1)^2)^2[/mm]
>
> Meine persönliche Lösung aber:
>
> -2*Cos(x) => [mm](D^2+1)[/mm]
> 4*x*sin(-x) => [mm](D^2+(-1)^2)^2[/mm]
>
> also:
>
> [mm][mm] (D^2+1)*(D^2+(-1)^2)^2[/mm
[/mm]
>
> Wieso ist das so?
Die Funktionen [mm]x*\sin\left(x\right)[/mm] und [mm]\cos\left(x\right)[/mm] deuten
darauf hin, daß hier doppelte komplexe Lösungen i, -i vorliegen.
Daher auch der Annulator [mm]\left(D^{2}+1\right)^{2}[/mm].
Bei Deiner persönlichen Lösung hingegen,
liegt die komplexe Lösung i, -i 3Fach vor.
Somit lautet hier der Annulator [mm]\left(D^{2}+1\right)^{3}[/mm].
Generell mußt Du hier die Lösung [mm]p\left(x\right)*e^{\lambda*x}[/mm] betrachen.
Dann lautet der Annulator [mm]\left(D+\lambda\right)^{\operatorname{grad} p\left(x\right)+1}[/mm]
Ausnahme ist natürlich der Fall komplexer Lösungen,
diese treten stets paarweise auf.
Wenn Du eine Funktion der Bauart
[mm]p\left(x\right)*\sin\left(\alpha*x\right)+q\left(x\right)*\cos\left(\alpha*x\right)[/mm]
hast, dann lautet der Annulator
[mm]\left(D^{2}+\alpha^{2}\right)^{\operatorname{max} \left\{\operatorname{grad} p\left(x\right),\operatorname{grad} q\left(x\right)\}+1}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Mi 06.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
> Die Funktionen [mm]x*\sin\left(x\right)[/mm] und [mm]\cos\left(x\right)[/mm] deuten
> darauf hin, daß hier doppelte komplexe Lösungen i, -i vorliegen.
> Daher auch der Annulator [mm]\left(D^{2}+1\right)^{2}[/mm].
> Bei Deiner persönlichen Lösung hingegen,
> liegt die komplexe Lösung i, -i 3Fach vor.
> Somit lautet hier der Annulator [mm]\left(D^{2}+1\right)^{3}[/mm].
> Generell mußt Du hier die Lösung [mm]p\left(x\right)*e^{\lambda*x}[/mm] betrachen.
> Dann lautet der Annulator [mm]\left(D+\lambda\right)^{\operatorname{grad} p\left(x\right)+1}[/mm]
> Ausnahme ist natürlich der Fall komplexer Lösungen,
> diese treten stets paarweise auf.
> Wenn Du eine Funktion der Bauart
> [mm]p\left(x\right)*\sin\left(\alpha*x\right)+q\left(x\right)*\cos\left(\alpha*x\right)[/mm]
> hast, dann lautet der Annulator
> [mm]\left(D^{2}+\alpha^{2}\right)^{\operatorname{max} \left\{\operatorname{grad} p\left(x\right),\operatorname{grad} q\left(x\right)\}+1}[/mm]
Wow, vielen Dank für die ausführliche Erklärung!
Also kann man im Vornherein schun rein durch b(x) bzw. den Annulator A erahnen wieviel Lösungen ich für Ly=b später in yp(x) zusätzlich haben werde (also nicht wieviele aber welche, generell wieviel komplexe und wieviel reale / normale)?
Ich habe mir noch schnell ein Beispiel rausgesucht wo b(x)= 1+ sin(2x) ist. Somit weiß ich jetzt: Aha, also es gibt einmal eine "normale" Lösung und eine einfache komplexe. Somit habe ich den Bestandteil
D gegeneb durch 1
weil:
[mm] p\left(x\right)*e^{\lambda*x} [/mm] mit [mm] \lambda [/mm] = 0 und der grad von p(x)=0
und
[mm] D^2+4 [/mm] gegeben durch sin(2x)
Wieso kommt es jetzt zu Stande, dass A die Form [mm] D*(D^2+4) [/mm] annimmt.
Meine pers. Gedanke hierbei war immer:
D + [mm] (D^2+4)
[/mm]
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Hallo Zuggel,
> > Die Funktionen [mm]x*\sin\left(x\right)[/mm] und [mm]\cos\left(x\right)[/mm]
> deuten
> > darauf hin, daß hier doppelte komplexe Lösungen i, -i
> vorliegen.
>
> > Daher auch der Annulator [mm]\left(D^{2}+1\right)^{2}[/mm].
>
>
> > Bei Deiner persönlichen Lösung hingegen,
> > liegt die komplexe Lösung i, -i 3Fach vor.
>
> > Somit lautet hier der Annulator [mm]\left(D^{2}+1\right)^{3}[/mm].
>
> > Generell mußt Du hier die Lösung
> [mm]p\left(x\right)*e^{\lambda*x}[/mm] betrachen.
>
> > Dann lautet der Annulator
> [mm]\left(D+\lambda\right)^{\operatorname{grad} p\left(x\right)+1}[/mm]
>
>
> > Ausnahme ist natürlich der Fall komplexer Lösungen,
> > diese treten stets paarweise auf.
>
> > Wenn Du eine Funktion der Bauart
>
> >
> [mm]p\left(x\right)*\sin\left(\alpha*x\right)+q\left(x\right)*\cos\left(\alpha*x\right)[/mm]
>
> > hast, dann lautet der Annulator
>
> > [mm]\left(D^{2}+\alpha^{2}\right)^{\operatorname{max} \left\{\operatorname{grad} p\left(x\right),\operatorname{grad} q\left(x\right)\}+1}[/mm]
>
>
>
> Wow, vielen Dank für die ausführliche Erklärung!
> Also kann man im Vornherein schun rein durch b(x) bzw.
> den Annulator A erahnen wieviel Lösungen ich für Ly=b
> später in yp(x) zusätzlich haben werde (also nicht
> wieviele aber welche, generell wieviel komplexe und wieviel
> reale / normale)?
Lösungen gibt es nur eine reelle bzw. ein konjugiert komplexes Paar.
Der Grad des zugehörigen Polynoms erhöht um 1,
ergibt die Vielfachheit dieser Lösungen, zumindest
für den reellen Fall
Wie das im Fall von konjugiert komplexen Lösungen ist,
habe ich Dir ja erläutert.
>
> Ich habe mir noch schnell ein Beispiel rausgesucht wo b(x)=
> 1+ sin(2x) ist. Somit weiß ich jetzt: Aha, also es gibt
> einmal eine "normale" Lösung und eine einfache komplexe.
> Somit habe ich den Bestandteil
> D gegeneb durch 1
> weil:
> [mm]p\left(x\right)*e^{\lambda*x}[/mm] mit [mm]\lambda[/mm] = 0 und der grad
> von p(x)=0
> und
> [mm]D^2+4[/mm] gegeben durch sin(2x)
>
> Wieso kommt es jetzt zu Stande, dass A die Form [mm]D*(D^2+4)[/mm]
> annimmt.
Nun, die Konstante als Lösung der DGL ist klar.
Mit sin(2x) ist auch cos(2x) Lösung der DGL.
Demnach hast Du 3 Lösungen.
Und eine DGL 3. Ordnung hat nun einmal 3 Lösungen.
>
> Meine pers. Gedanke hierbei war immer:
> D + [mm](D^2+4)[/mm]
Hier kommt in A maximal eine Ableitung zweiten Grades vor.
Daher gibt es hier auch nur 2 Lösungen.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Fr 08.10.2010 | | Autor: | Zuggel |
Alles klar. Vielen Dank für deine Hilfe!
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