DGL-System umschreiben < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Di 20.01.2009 | | Autor: | Audience |
| Aufgabe | In der Allgemeinen Relativitätstheorie werden die Bahnen von Lichtstrahlen durch ein System nicht linearer gewöhnlicher DGLs zweiter Ordnung beschrieben. Im Falle eines Schwarzenlochs muss das DGL-System:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Schreiben Sie das DGL zweiter Ordnung in ein System erster Ordnung um. Verwenden Sie dabei den Vektor y = (t, r, [mm] \phi, [/mm] t', r', [mm] \phi'), [/mm] also [mm] y_{0} [/mm] = t, [mm] y_{1} [/mm] = r, ... |
Ich weiß jetzt nicht wirklich, wie man das umschreiben soll. Ich habe in 1a,b, c erst einmal die Funktionen ersetzt:
[mm] y_{3}' [/mm] = [mm] -\bruch{r_{s}}{y_{1}(y_{1}-r_{s}}y_{3}y_{4}
[/mm]
[mm] y_{4}' [/mm] = ...
[mm] y_{5}' [/mm] = [mm] -\bruch{2}{y_{1}}y_{1}'y_{5}
[/mm]
Dann habe ich folgende Bedingungen hinzugefügt:
[mm] y_{3} [/mm] = [mm] y_{0}'
[/mm]
[mm] y_{4} [/mm] = [mm] y_{1}'
[/mm]
[mm] y_{5} [/mm] = [mm] y_{2}'
[/mm]
Nun habe ich 6 Gleichungen. Aber stimmt das so? Ich muss nun dieses System numerisch lösen mittels eines Runge-Kutta Verfahrens. Dafür müsste ich ja irgendwo mit dem Auflösen anfangen, aber es ist ja nicht einmal ein lineares System?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Audience,
> In der Allgemeinen Relativitätstheorie werden die Bahnen
> von Lichtstrahlen durch ein System nicht linearer
> gewöhnlicher DGLs zweiter Ordnung beschrieben. Im Falle
> eines Schwarzenlochs muss das DGL-System:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Schreiben Sie das DGL zweiter Ordnung in ein System erster
> Ordnung um. Verwenden Sie dabei den Vektor y = (t, r, [mm]\phi,[/mm]
> t', r', [mm]\phi'),[/mm] also [mm]y_{0}[/mm] = t, [mm]y_{1}[/mm] = r, ...
> Ich weiß jetzt nicht wirklich, wie man das umschreiben
> soll. Ich habe in 1a,b, c erst einmal die Funktionen
> ersetzt:
> [mm]y_{3}'[/mm] = [mm]-\bruch{r_{s}}{y_{1}(y_{1}-r_{s}}y_{3}y_{4}[/mm]
> [mm]y_{4}'[/mm] = ...
> [mm]y_{5}'[/mm] = [mm]-\bruch{2}{y_{1}}y_{1}'y_{5}[/mm]
Hier mußt Du [mm]y_{1}'[/mm] durch [mm]y_{4}[/mm] ersetzen:
[mm]y_{5}'[/mm] = [mm]-\bruch{2}{y_{1}}y_{4}y_{5}[/mm]
> Dann habe ich folgende Bedingungen hinzugefügt:
> [mm]y_{3}[/mm] = [mm]y_{0}'[/mm]
> [mm]y_{4}[/mm] = [mm]y_{1}'[/mm]
> [mm]y_{5}[/mm] = [mm]y_{2}'[/mm]
>
> Nun habe ich 6 Gleichungen. Aber stimmt das so? Ich muss
Ja, mit der obigen Korrektur stimmt das.
Jetzt mußt Du das System so schreiben:
[mm]\pmat{y_{0}' \\ y_{1}' \\ y_{2}' \\ y_{3}' \\ y_{4}' \\ y_{5}'}=f\left(y_{0},y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},y_{5},\lambda\right)[/mm]
> nun dieses System numerisch lösen mittels eines Runge-Kutta
> Verfahrens. Dafür müsste ich ja irgendwo mit dem Auflösen
> anfangen, aber es ist ja nicht einmal ein lineares System?
Das Runge-Kutta-Verfahren ist ein Einschrittverfahren.
Da gibt es nichts aufzulösen.
Gruß
MathePower
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