DGL.2.Grd.Störglied < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 So 09.09.2007 | | Autor: | Hing |
hallo, ich lerne gerade DGL 2.grades und verstehe etwas nicht.
wenn zB meine störfunktion allgemein g_(x)=e^(cx) lautet. dann steht hier als lösungsansatz jeweils etwas mit c hat "keine Lösung", "einfache Lösung" und "doppelte Lösung" der "charakterischen Gleichung".
hier steht aber nirgendwo wie man ich das feststellen kann was, wie und woher c eine lösung hat.
wahrscheinlich ist das wieder so einfach, dass das weggelassen wurde.
könnte mir das bitte jemand beantworten? es eilt auch.
danke.
PS: irgendwas stimmt heute mit matheraum nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 So 09.09.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Hing,
> hallo, ich lerne gerade DGL 2.grades und verstehe etwas
> nicht.
>
> wenn zB meine störfunktion allgemein g_(x)=e^(cx) lautet.
> dann steht hier als lösungsansatz jeweils etwas mit c hat
> "keine Lösung", "einfache Lösung" und "doppelte Lösung" der
> "charakterischen Gleichung".
> hier steht aber nirgendwo wie man ich das feststellen kann
> was, wie und woher c eine lösung hat.
es geht darum zu entscheiden, ob c keine, eine einfache oder doppelte Lösung deiner charakteristischen Gleichung ist.
Ist c keine Lösung von y(x), dann gilt der Ansatz: [mm] A*e^{cx}
[/mm]
Ist c einfache Lösung von y(x), dann gilt: [mm] A*x*e^{cx}
[/mm]
Ist c doppelte Lösung von y(x), dann gilt: [mm] A*x^2*e^{cx}
[/mm]
und natürlich für DGLs höherer Ordnung
Ist c r-fache Lösung von y(x), dann gilt: [mm] A*x^r*e^{cx}
[/mm]
Du kannst dir das an folgendem Beispiel verdeutlichen:
y''+y'-2y=g(x)
die Lösungen der charakteristischen Gleichung lauten:
[mm] \lambda_1=1 [/mm] und [mm] \lambda_2=-2
[/mm]
also ist [mm] y_{homogen}=C_1*e^x+C_2*e^{-2x}
[/mm]
nun setzen wir für g(x) einmal:
[mm] g_1(x)=e^{4x}
[/mm]
und
[mm] g_2(x)=4e^{-2x}
[/mm]
ein. Jetzt ist für [mm] g_1 [/mm] der Ansatz: [mm] A*e^{4x} [/mm] - da unser c=4 keine Lösung von y ist und für [mm] g_2 [/mm] wird der Ansatz: [mm] A*x*e^{x} [/mm] gewählt, da c=-2 eine Lösung der charakteristischen Gleichung ist.
Nun klarer?
Liebe Grüße
Herby
> PS: irgendwas stimmt heute mit matheraum nicht.
der Chef spielt wahrscheinlich am Server 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 So 09.09.2007 | | Autor: | Hing |
ich habs kapiert. wirklich sehr einfach.
vielen, vielen dank für deine antwort. das wird mir morgen bestimmt nochmal 5% bringen.
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