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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Zusammen!
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Es sei das DGL
[mm]\bruch{d}{dy_1} y_1 = siny_2 + cosy_1[/mm]
[mm]\bruch{d}{dy_2} y_2 = exp(-(y_1)^2) + y_2[/mm]
gegeben.
Zu zeigen:
Die rechte Seite genügt auf [mm]\IR^2[/mm] einer Lipschitz Bedingung.
Untersuche die DGL auf Existenz, Eindeutigkeit und maximale Existenzintervalle von Lösungen in Abhängigkeit von Startwerten [mm] (x_0,y_0) \in \IR^2[/mm].
Bei der Lipschitz-Bedingung finde ich keinen Ansatz.
Kann man die Existenz und Eind. evtl mit dem Satz von Picard-Lindelöf zeigen?
Dazu bräuchte man aber wieder die Lipschitz Bedinung.
Bin für jeden Ansatz dankbar!
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Hallo Wurzelpi,
Du hast also ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung
y'=f(y)
Lipschitz Bedingung war ja folgendes
[mm] ||f(y_1)-f(y_2)|| \le L||y_1-y_2||
[/mm]
Für die Existenz einer Lösung braucht man eigentlich nur lokale Lipschitzstetigkeit d.h.
[mm] \forall [/mm] y [mm] \exists [/mm] U(x),L : [mm] ||f(y_1)-f(y_2)|| \le L||y_1-y_2|| \forall y_1,y_2 \in [/mm] U(x)
Das bedeutet aber das die stetige Differenzierbarkeit der rechten Seite für die Existenz einer Lösung ausreicht was hier gegeben ist.
gruß
mathemaduenn
siehe auch z.B. Wolfgang Walter , Gewöhnliche Differentialgleichungen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:43 Di 09.11.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo!
Danke für Deine Antwort.
Ich habe ja schon angedeutet/gefragt, dass man die Existenz und Eindeutigkeit mit dem Satz von Picard-Lindelöf bekommt.
Das scheint sich dann mit Deiner Antwort zu decken.
Dafür brauche ich aber die Vor., dass das DGL eine Lipschitz-Bed. genügt.
Und gerade mit diesem Teil komme ich nicht klar.
Die Def. ist mir auch geläufig, nur weiss ich nicht, was ich wo einsetzen soll?
Ein konkreter Ansatz würde mir da sicherlich auf die Sprünge helfen!
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Hallo [mm] \wurzel{\pi} [/mm] ,
Die "rechte Seite" (Also das was einer L -Bedingung bezgl. der y genügen soll) der DGL sieht ja so aus:
[mm]f(y)= \vektor{\sin{y_1} +\cos{y_2} \\ e^{-y_1^2} +y_2}[/mm]
Da dein Gebiet [mm](\IR^2)[/mm] konvex ist kannst Du den Mittelwertsatz anwenden.
[mm] f_1(a)-f_1(b)=\bruch{ \partial f_1(c)}{ \partial y_1}(a_1-b_1) [/mm] + [mm] \bruch{ \partial f_1(c)}{ \partial y_2}(a_2-b_2)
[/mm]
Wobei a,b,c Vektoren des [mm] R^2 [/mm] sind und c die Zwischenstelle. Wenn du das ein wenig abschätzt(nat. auch [mm] f_2) [/mm] erhälst du eine L -Konstante bezgl. der Maximumnorm. Das geht für jede stetig diffbare Funktion lokal( zu jedem Punkt gibt es eine Umgebung in der die Ableitungen beschränkt sind). Im vorliegenden Fall sollte sogar eine globale L-Konstante rausspringen.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Di 09.11.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Also, ich habe mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen und habe mit Hilfe von Mathemaduenn folgenden Ansatz überlegt:
Es sei [mm]f(x,y)= \vektor{\sin{y_1} +\cos{y_2} \\ e^{-y_1^2} +y_2}[/mm].
Dabei bezeichne [mm] f_1 [/mm] die erste Komponente und [mm] f_2 [/mm] die zweite Komponente des Vektors f(y).
Folgende Abschätzungen:
[mm]||f_1(x,y) - f_1(x,z)||
= ||sin(y_2)+cos(y_1) - sin(z_2)-cos(z_1)||
<= ||sin(y_2)-sin(z_2)|| + ||cos(y_1) - cos(z_1)|| Dreiecksungleichung
= f(c) ||y_2 - z_2|| + f(d) ||y_1 - z_1|| MWS, c,d geeignet
<= 1||y_2 - z_2|| + 1||y_1 - z_1|| sin,cos sind beschränkt
= ||y_2 - z_2|| + ||y_1 - z_1|| [/mm]
Also wäre L=1 die Lipschitz-Konstante für [mm] f_1.
[/mm]
Für [mm] f_2 [/mm] betrachte:
Die Exponentialfunktion (Exponent ist negativ) ist kleiner 1, also auch der Betrag der Differenz.
Also:
[mm] [/mm]||f_2(x,y)-f_(x,z)|| [/mm] <= [mm] ||y_1 [/mm] - [mm] z_1|| [/mm] + [mm] ||y_2 [/mm] - [mm] z_2||[/mm]
[/mm]
Also wiederum die Lipschitz-Konstante L=1.
Ist das soweit richtig?
Wäre dann
[/mm]||f(x,y) - f(x,z)|| <= [mm] ||y_1 [/mm] - [mm] z_1|| [/mm] + [mm] ||y_2 [/mm] - [mm] z_2||[/mm] [/mm] mit Lipschitz-Konstante L=1?
Falls alles so richtig ist, hätte ich dann gezeigt, dass für alle (x,y),(x,z) f global einer Lipschitz-Bedingung genügt?
Was kann ich denn nun genau für Existenz, Eindeutigket und maximales Existenzintervall folgern?
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Hallo nochmal,
> Es sei [mm]f(x,y)= \vektor{\sin{y_1} +\cos{y_2} \\ e^{-y_1^2} +y_2}[/mm].
>
> Dabei bezeichne [mm]f_1[/mm] die erste Komponente und [mm]f_2[/mm] die zweite
> Komponente des Vektors f(y).
>
> Folgende Abschätzungen:
>
> [mm]||f_1(x,y) - f_1(x,z)||[/mm]
= [mm]||sin(y_2)+cos(y_1) - sin(z_2)-cos(z_1)||[/mm]
<= [mm]||sin(y_2)-sin(z_2)|| + ||cos(y_1) - cos(z_1)||[/mm] Dreiecksungleichung
= f(c) [mm]||y_2 - z_2|| + f(d) ||y_1 - z_1||[/mm] MWS, c,d geeignet
<= [mm]1||y_2 - z_2||+ 1||y_1 - z_1||[/mm] sin,cos sind beschränkt
= [mm]||y_2- z_2|| + ||y_1 - z_1|| [/mm]
> Also wäre L=1 die Lipschitz-Konstante für [mm]f_1.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Hier hast Du nat. die Betragssummennorm gewählt 
> Für [mm]f_2[/mm] betrachte:
> Die Exponentialfunktion (Exponent ist negativ) ist kleiner 1, also auch >der Betrag der Differenz.
Das stimmt aber aus dieser Folgerung müsste die nächste Zeile heißen
[mm]||f_2(x,y)-f_(x,z)|| <= 1 + ||y_2 - z_2||[/mm]
Du müsstest schon die entsrechende Ableitung abschätzen.
> Wäre dann
[mm][/mm]||f(x,y)[/mm] - f(x,z)|| <= [mm]||y_1[/mm] - [mm]z_1||[/mm] + [mm]||y_2[/mm] - [mm]z_2||[/mm][/mm] mit Lipschitz-Konstante L=1?
Wenn du die Betragssummennorm nimmst müsstest du die beiden L-Konstanten addieren.
> Falls alles so richtig ist, hätte ich dann gezeigt, dass für alle (x,y),(x,z) f > global einer Lipschitz-Bedingung genügt?
> Was kann ich denn nun genau für Existenz, Eindeutigket und maximales > Existenzintervall folgern?
Da die "rechte Seite" auf dem gesamten [mm] \IR^2 [/mm] x [mm] \IR [/mm] definiert ist und einer L-Bedingung genügt gibt es imho(Hab gerade kein Nachschlagewerk da) zu jeder Anfangsbedingung eine Lösung.
gruß
mathemaduenn
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Hallo Wurzelpi!
> Ist [mm]f_1[/mm] die erste Komponente des Vektors auf der rechten
> Seite, also [mm]sin(y_1) +\cos(y_2)?
[/mm]
Genau wie du es schon gemacht hast. müssen [mm] f_1,f_2 [/mm] separat abgeschätzt werden.
Deinen Lösungsansatz find ich bezgl. 1 etwas kurz deshalb um auf Nummer sicher zu gehen etwas ausführlicher:
[mm]f_1(a)-f_1(b)=\bruch{ \partial f_1(c)}{ \partial y_1}(a_1-b_1) + \bruch{ \partial f_1(c)}{ \partial y_2}(a_2-b_2)[/mm]
[mm]|f_1(a)-f_1(b)|\le |\bruch{ \partial f_1(c)}{ \partial y_1}| |(a_1-b_1)| + |\bruch{ \partial f_1(c)}{ \partial y_2}| |(a_2-b_2)|[/mm]
[mm]|f_1(a)-f_1(b)|\le \max_{i=1,2}|\bruch{ \partial f_1(c)}{ \partial y_i}| |(a_1-b_1)| + \max_{i=1,2}|\bruch{ \partial f_1(c)}{ \partial y_i}| |(a_2-b_2)|[/mm]
[mm]|f_1(a)-f_1(b)|\le 2*\max_{i=1,2}|\bruch{ \partial f_1(c)}{ \partial y_i}| \max_{i=1,2}|(a_i-b_i)|[/mm]
[mm]|f_1(a)-f_1(b)|\le 2*\max_{i=1,2 ; c\in \IR^2}|\bruch{ \partial f_1(c)}{ \partial y_i}| * ||(a-b)||_{\infty}[/mm]
So jetzt dasselbe nochmal für [mm] f_2. [/mm]
[mm]|f_2(a)-f_2(b)|\le 2*\max_{i=1,2 ; c\in \IR^2}|\bruch{ \partial f_2(c)}{ \partial y_i}| * ||(a-b)||_{\infty}[/mm]
Jetzt beides zusammen.
[mm]||f(a)-f(b)||_{\infty} \le 2*\max_{i=1,2; j=1,2 ; c\in \IR^2}|\bruch{ \partial f_j(c)}{ \partial y_i}| * ||(a-b)||_{\infty}[/mm]
Das bedeutet wenn die Ableitungen in [mm] \IR^2 [/mm] beschränkt sind ist diese Beschränktheit gleich einer L-Konstanten.
gruß
mathemaduenn
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