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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL
DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 Mo 10.12.2007
Autor: anna_h

Aufgabe
xy´-2y=x³sinhx

Die Aufgabe soll ich lösen. Differentialgleichungen sind normal nicht mein Problem. Aber da kann ich x und y nicht trennen und eine geeignete Substitution kenne ich auch nicht.
Kann mir jemand nur den Ansatz sagen?
Vielen Dank

        
Bezug
DGL: homogene DGL
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 Mo 10.12.2007
Autor: Loddar

Hallo Anna!


Löse doch zunächst die homogene DGL mit $x*y'-2y \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Mo 10.12.2007
Autor: anna_h

Das ist ja das Problem: Nach meinem Verständnis ist diese DGL garnicht homogen. das x stört mich. Sonst hätte ich das charakteristische Polynom aufgestellt. Geht aber nicht.

Bezug
                        
Bezug
DGL: Trennung der Variablen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:56 Mo 10.12.2007
Autor: Loddar

Hallo Anna!


Die homogene Lösung mit $ [mm] x\cdot{}y'-2y [/mm] \ = \ [mm] \red{0} [/mm] $ kannst Du doch über Trennung der Variablen lösen.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:08 Mo 10.12.2007
Autor: anna_h

Das hat mir geholfen. Danke.
ich habe:
[mm] -2y=x\bruch{dy}{dx} [/mm] <=> [mm] \integral{-\bruch{2y}{dy}}=\integral{\bruch{x}{dx}} [/mm]
=> ln|2y| = ln |x|+C

Oder?

Bezug
                                        
Bezug
DGL: nicht richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:14 Mo 10.12.2007
Autor: Loddar

Hallo Anna!


Du stellst hier falsch um! Die Differentiale $dx_$ bzw. $dy_$ dürfen nicht im Nenner vorkommen sondern im Zähler:

$$x*y' -2y \ = \ 0$$
$$x*y' \ = \ 2y$$
[mm] $$\bruch{y'}{y} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{x}$$ [/mm]
[mm] $$\blue{\integral}\bruch{dy}{y} [/mm] \ = \ [mm] 2*\blue{\integral}\bruch{dx}{x}$$ [/mm]
usw.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:23 Mo 10.12.2007
Autor: anna_h

Das kommt davon wenn man nicht richtig konzentriert ist. Sorry.
dann ist
ln|2y| = ln |x| +C
=> 2y=x+C (streng genommen [mm] e^{C} [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
DGL: nicht richtig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:29 Mo 10.12.2007
Autor: Loddar

Hallo Anna!


Wie kommt denn bei Dir die $2_$ wieder auf die linke Seite? Und die Integrationskonstante [mm] $\red{+} [/mm] \ C$ (bzw. [mm] $\red{+} [/mm] \ [mm] e^C$ [/mm] ) ist auch nicht richtig.

Nach dem Umformen muss es $y \ = \ [mm] C*x^2$ [/mm] heißen (MBLogarithmusgesetze beachten!).


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                
Bezug
DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:42 Mo 10.12.2007
Autor: anna_h

Jetzt stehe ich totasl auf dem Schlauch. :-(
Aber ich probiere es noch mal von vorne

Bezug
                                                                        
Bezug
DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:23 Mo 10.12.2007
Autor: anna_h

also ich komme nicht auf dein ergebniss. Kann mir nochmal jemand helfen? Einen kleinen Zwischenschritt. das mit dem +C das steht bei mir so in der Formelsammlung

Bezug
                                                                                
Bezug
DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:43 Mo 10.12.2007
Autor: Martinius

Hallo Anna,

$x*y'-2y = [mm] x^3*sinhx$ [/mm]

Erstmal die homogene DGL lösen:

$x*y'-2y = 0$

[mm] $x*\bruch{dy}{dx} [/mm] = 2y$

[mm] $\bruch{1}{y}*dy [/mm] = [mm] 2*\bruch{1}{x}dx$ [/mm]

[mm] $\integral \bruch{1}{y}\, [/mm] dy [mm] =2*\integral \bruch{1}{x}\, [/mm] dx $

$ln|y| = 2*ln|x| + D$

$ln|y| = [mm] ln\left(x^2\right) [/mm] + D$

$|y| = [mm] x^2*e^D$ [/mm]

$y = [mm] C*x^2$ [/mm]

Damit ist die homogene DGL gelöst.

Und nun weiter mit "Variation der Konstanten":

$y = [mm] C(x)*x^2$ [/mm]

$y' = [mm] C'(x)*x^2+2*C(x)*x$ [/mm]

Einsetzen in die inhomogene DGL ....


LG, Martinius






Bezug
                                                                                        
Bezug
DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 Sa 22.12.2007
Autor: anna_h

$ln|y| = 2*ln|x| + D$

$ln|y| = [mm] ln\left(x^2\right) [/mm] + D$

kann ich den allgemein sagen:
[mm] c*ln(u)=ln(u^{c})???? [/mm]
Steht nicht in meiner (kleinen) Formelsammlung.

Bezug
                                                                                                
Bezug
DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Sa 22.12.2007
Autor: Tea

Hallo!

Ich bin zwar noch nicht bei DGLs, aber vielleicht hilft dir ja eine Antwort, die Loddar mir gegeben hat weiter:

$ [mm] c\cdot{}ln(u)=ln(u^{c})???? [/mm] $

https://matheraum.de/read?i=343728

Viele Grüße

Bezug
                                                                                                        
Bezug
DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:55 Sa 22.12.2007
Autor: anna_h

Ja genau. Vielen Dank. Merci.

>  
> Viele Grüße


Bezug
                                                                                                                
Bezug
DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Di 25.12.2007
Autor: anna_h

Ich habe:
x*[C´(x)*x²+2C(x)*x]-2C(x)*x²=x³sinh(x)
=> C´(x)*x³=x³*sinh(x)
=> [mm] C(x)=\integral [/mm] sinh(x)
=> C(x)=cosh(x)

Kann das so jemand bestätigen?
vielen Dank und ein frohes Fest

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
DGL: Richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:39 Di 25.12.2007
Autor: Loddar

Hallo Anna!


[daumenhoch] Richtig! Wie lautet also die Gesamtlösung der DGL?


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                                                                
Bezug
DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:14 Mi 26.12.2007
Autor: anna_h

Mit der Gesamtlösung bin ich mir extrem unsicher, aber ich hatte:

[mm] y=C_{1}*x²+C_{2}*cosh(x) [/mm]

als Lösung

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
DGL: nicht ganz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 Mi 26.12.2007
Autor: Loddar

Hallo Anna!


Nicht ganz! Wir hatten doch als homogene Lösung erhalten [mm] $y_H [/mm] \ = \ [mm] C*x^2$ [/mm] .

Und durch die Variation der Konstanten haben wir noch erhalten $C(x) \ = \ [mm] \cosh(x)$ [/mm] . Damit ergibt sich als partikuläre Lösung: [mm] $y_P [/mm] \ = \ [mm] \cosh(x)*x^2$ [/mm] .

Und die Gesamtlösung lautet:
$$y \ = \ [mm] y_H+y_P [/mm] \ = \ [mm] C*x^2+\cosh(x)*x^2 [/mm] \ = \ [mm] \left[\cosh(x)+C\right]*x^2$$ [/mm]

Gruß
Loddar


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