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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Sa 21.06.2008 | | Autor: | mini111 |
| Aufgabe | | Bestimme die lösung der dgl. y'+y/x-4*x^(1/2)*y^(1/2)=0 ,AWA y(1)=1 eideutig lösbar? |
hallo,
ich habe probleme bei dieser aufgabe,ich habe festgestellt dass es eine bernoullische dgl sein muss.jetzt habe ich versucht zu substituieren mit [mm] z=2*\wurzel{y},aber [/mm] dann bekomm ich was ganz schrecklich langes raus.erstmal hat man ja nach der substitution z'+1/2*z/x= [mm] 4*x^{1/2},diese [/mm] dgl habe ich versucht nach dem üblichen schema zu lösen,nur da kam was komisches raus.ich hoffe ihr könnt mir sagen wo da der fehler ist.
grüße
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Hallo,
> Bestimme die lösung der dgl. y'+y/x-4*x^(1/2)*y^(1/2)=0
> ,AWA y(1)=1 eideutig lösbar?
> hallo,
>
> ich habe probleme bei dieser aufgabe,ich habe festgestellt
> dass es eine bernoullische dgl sein muss.jetzt habe ich
> versucht zu substituieren mit [mm]z=2*\wurzel{y},aber[/mm] dann
> bekomm ich was ganz schrecklich langes raus.erstmal hat man
> ja nach der substitution z'+1/2*z/x= [mm]4*x^{1/2},diese[/mm] dgl
> habe ich versucht nach dem üblichen schema zu lösen,nur da
> kam was komisches raus.ich hoffe ihr könnt mir sagen wo da
> der fehler ist.
>
> grüße
Wenn Du deinen Rechenweg gepostet hättest, hätte man ihn überprüfen können.
Ich habe als Lösung:
[mm] $y=\left(\bruch{8}{5}*\left(\wurzel{x}\right)^3+\bruch{C}{x} \right)^2$
[/mm]
Edit:
Diese Lösung ist nicht richtig! Ich hatte mich verrechnet.
Richtig ist vielmehr:
[mm] $y=\left(\bruch{x^2+C}{\wurzel{x}} \right)^2$
[/mm]
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 So 22.06.2008 | | Autor: | mini111 |
Hallo martinius,
Danke für die hilfe.ok also ich habe wie gesagt [mm] z=2*y^{1/2} [/mm] gesetzt, [mm] z'=y^{-1/2} [/mm] *y' [mm] \Rightarrow z'+1/2*z/x=4*x^{1/2} [/mm] und hieraus hat man ja dann sein h(x) und g(x),damit habe ich dann laut satz: [mm] \mu=exp(-G(x))*(y_{0}+ \integral_{x_{0}}^{x}{h(x)*exp(G(x)) dx} [/mm] eingesetzt und da kam dann was anderes raus,dann muss ja schon vorher irgendwo ein fehelr sein.oder?
LG
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Hallo mini,
> Hallo martinius,
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> Danke für die hilfe.ok also ich habe wie gesagt [mm]z=2*y^{1/2}[/mm]
> gesetzt, [mm]z'=y^{-1/2}[/mm] *y' [mm]\Rightarrow z'+1/2*z/x=4*x^{1/2}[/mm]
> und hieraus hat man ja dann sein h(x) und g(x),damit habe
> ich dann laut satz: [mm]\mu=exp(-G(x))*(y_{0}+ \integral_{x_{0}}^{x}{h(x)*exp(G(x)) dx}[/mm]
> eingesetzt und da kam dann was anderes raus,dann muss ja
> schon vorher irgendwo ein fehelr sein.oder?
>
> LG
Schon am Anfang ist ein Fehler zu finden.
[mm] $y'+\bruch{y}{x}-4*x^{\bruch{1}{2}}*y^{\bruch{1}{2}}=0$
[/mm]
nach dieser Seite:
![[]](/images/popup.gif) http://matheplanet.com/default3.html?article=525
wird die Bernoulli-DGL mit [mm] $\bruch{1}{2}*y^{-\bruch{1}{2}}$ [/mm] multipliziert:
[mm] $\bruch{1}{2}*y^{-\bruch{1}{2}}*y'+\bruch{1}{2}*\bruch{\wurzel{y}}{x}-2*x^{\bruch{1}{2}}=0$
[/mm]
[mm] $\left(\wurzel{y} \right)'+\bruch{1}{2}*\bruch{\wurzel{y}}{x}-2*x^{\bruch{1}{2}}=0$
[/mm]
[mm] $z'+\bruch{1}{2}*\bruch{z}{x}-2*x^{\bruch{1}{2}}=0$
[/mm]
Dann habe ich die homogene Gleichung durch Separation der Variablen gelöst, dann mit Variation der Konstanten die inhomogene DGL.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 So 22.06.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo mini,
ich hatte mich in meinem 1. Post auch verrechnet.
Die Lösung ist nunmehr:
[mm] $y=\left(\bruch{x^2+C}{\wurzel{x}} \right)^2$
[/mm]
Überprüfen durch Einsetzen:
[mm] $z=\bruch{x^2+C}{\wurzel{x}}$
[/mm]
[mm] $z'=\bruch{1}{x}*\left(\wurzel{x}*2x-(x^2+C)*\bruch{1}{2*\wurzel{x}} \right)$
[/mm]
[mm] $z'=2*\wurzel{x}-\bruch{z}{2*x}$
[/mm]
[mm] $z'+\bruch{z}{2*x}-2*\wurzel{x}=0$
[/mm]
[mm] $2*\wurzel{x}-\bruch{z}{2*x}+\bruch{z}{2*x}-2*\wurzel{x}=0$
[/mm]
LG, Martinius
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