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| Aufgabe | Lösen sie folgendes anfangswertproblem:
x*x´´ -x´^2=-9 ; x(0)=A ; x´(0)=0 und x hängt wohl von t ab vermute ich mal!! |
1. habe erstmal substituiert: x´(t)=z(x(t)) => x´´ =z´*z (hoffe das ist richtig)
2. daraus folgt dann x*z´ [mm] *z-z^2=-9 [/mm] => [mm] dz/(z^2-9)=dx/x
[/mm]
3.jetzt muss ich wohl partialbrüche für die z-seite machen und habe: 1/(6(z-3)) - 1/(6(z+3))
4.integrieren: ln(z-3)/6 -ln(z+3)/6 = ln(x)+c
5.nach umstellen komme ich auf: ln(z-3/z+3)=6(ln(x)+c)
ab hier komme ich nicht weiter!! weil ich muss doch eig. nach z umstellen muss. der letzte schritt den ich habe ist: [mm] (z-3)/(z+3)=x^6 [/mm] * e^6c
vllt kann mir ja jemand helfen, vllt habe ich auch ganz am anfang was falsch gemacht. vielen dank schonmal an euch!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo esteban_1986,
> Lösen sie folgendes anfangswertproblem:
> x*x´´ -x´^2=-9 ; x(0)=A ; x´(0)=0 und x hängt wohl
> von t ab vermute ich mal!!
> 1. habe erstmal substituiert: x´(t)=z(x(t)) => x´´
> =z´*z (hoffe das ist richtig)
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. daraus folgt dann x*z´ [mm]*z-z^2=-9[/mm] => [mm]dz/(z^2-9)=dx/x[/mm]
Da ist ein "z" verlorengegangen:
[mm]\red{z}*dz/(z^2-9)=dx/x[/mm]
> 3.jetzt muss ich wohl partialbrüche für die z-seite
> machen und habe: 1/(6(z-3)) - 1/(6(z+3))
> 4.integrieren: ln(z-3)/6 -ln(z+3)/6 = ln(x)+c
> 5.nach umstellen komme ich auf: ln(z-3/z+3)=6(ln(x)+c)
> ab hier komme ich nicht weiter!! weil ich muss doch eig.
> nach z umstellen muss. der letzte schritt den ich habe ist:
> [mm](z-3)/(z+3)=x^6[/mm] * e^6c
>
> vllt kann mir ja jemand helfen, vllt habe ich auch ganz am
> anfang was falsch gemacht. vielen dank schonmal an euch!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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danke sehr! ich hab das eben mal durchgerechnet und wollt da noch was fragen.
1.also basis war: [mm] zdz/(z^2-9)=dx/x
[/mm]
2.dann kam raus: [mm] ln(z^2-9)/2=lnx [/mm] +c
3.und jetzt wollt ich fragen, ob es richtig ist wenn ich es einfach so mache?:
[mm] ln(z^2-9)/2=lnx [/mm] +c => [mm] ln(z^2-9)=2lnx+2c [/mm] => [mm] ln(z^2-9)=ln(x^2)+2c
[/mm]
4. weil wenn das richtig ist kommt nach dem zurücksubstituieren ein sehr schweres integral raus!
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> danke sehr! ich hab das eben mal durchgerechnet und wollt
> da noch was fragen.
> 1.also basis war: [mm]zdz/(z^2-9)=dx/x[/mm]
> 2.dann kam raus: [mm]ln(z^2-9)/2=lnx[/mm] +c
> 3.und jetzt wollt ich fragen, ob es richtig ist wenn ich
> es einfach so mache?:
> [mm]ln(z^2-9)/2=lnx[/mm] +c => [mm]ln(z^2-9)=2lnx+2c[/mm] =>
> [mm]ln(z^2-9)=ln(x^2)+2c[/mm]
> 4. weil wenn das richtig ist kommt nach dem
> zurücksubstituieren ein sehr schweres integral raus!
sieht bis jetzt ok aus, nun e-funktion anwenden und nach z umstellen, resubstituieren und das integral lösen.. am ende kam mein programm auf [mm] $$x=\frac{3\,sinh\left( \sqrt{c}\,t\right) }{\sqrt{c}}$$
[/mm]
wobei das aussehen auch sehr variieren kann, je nachdem ob man die konstante unterwegs umbetitelt
gruß tee
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ok danke tee!
ich hab leider kein programm, muss also auf alte art mit dem bleistift rechenen ;)
ok also wenn das richtig ist rechne ich jetz mal weiter....
ok hab was.
1. basis war: [mm] ln(z^2-9)=ln(x^2)+c [/mm] ( habe aus 2c einfach c gemacht)
2. "ln" weg: [mm] z^2-9=x^2*c [/mm] ( eig mal [mm] e^c [/mm] , aber ich nenne es immernoch einfach c)
3. nach dem umstellen: [mm] z=\wurzel{c*x^2+9}
[/mm]
4. rücksubst.: [mm] dx/dt=\wurzel{c*x^2+9}
[/mm]
5. hoffe mal die integrale sind: [mm] dx/\wurzel{c*x^2+9}=dt
[/mm]
UND JETZT IST MEIN PROB DAS LINKE INTEGRAL ZULÖSEN! ALS OB DAS PER HAND SO EINFACH GEHT.
Also entweder ich hab zuvor was falsch gemacht oder es gibt einen ganz einfachen weg das ding zulösen.
hilfe hilfe
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> ok danke tee!
> ich hab leider kein programm, muss also auf alte art mit
> dem bleistift rechenen ;)
> ok also wenn das richtig ist rechne ich jetz mal
> weiter....
> ok hab was.
> 1. basis war: [mm]ln(z^2-9)=ln(x^2)+c[/mm] ( habe aus 2c einfach c
> gemacht)
> 2. "ln" weg: [mm]z^2-9=x^2*c[/mm] ( eig mal [mm]e^c[/mm] , aber ich nenne
> es immernoch einfach c)
> 3. nach dem umstellen: [mm]z=\wurzel{c*x^2+9}[/mm]
> 4. rücksubst.: [mm]dx/dt=\wurzel{c*x^2+9}[/mm]
> 5. hoffe mal die integrale sind: [mm]dx/\wurzel{c*x^2+9}=dt[/mm]
> UND JETZT IST MEIN PROB DAS LINKE INTEGRAL ZULÖSEN! ALS
> OB DAS PER HAND SO EINFACH GEHT.
> Also entweder ich hab zuvor was falsch gemacht oder es
> gibt einen ganz einfachen weg das ding zulösen.
soweit hatte ich es per hand auch noch ;)
so nun geb ich dir noch einen tipp fürs integral:
[mm] \integral_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}}=arsinh(x)+c
[/mm]
dazu die 9 hinten zu einer 1 machen (ausklammern) und dann den x-term substituieren
> hilfe hilfe
gruß tee
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sry, aber das verstehe ich echt nicht! vllt könntest du mir das genauer erklären mit der 9 und der substitution.
ich grad mal das intrgral bei derive eingegeben und der zeigt mir:
[mm] \integral_{a}^{b}{1/\wurzel{1+x^2} dx}=ln(\wurzel{x^2+1}+x)
[/mm]
gruß este
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> sry, aber das verstehe ich echt nicht! vllt könntest du
> mir das genauer erklären mit der 9 und der substitution.
>
> gruß este
[mm] \int\frac{dx}{\sqrt{c*x^2+9}}=\frac{1}{3}*\int\frac{dx}{\sqrt{\frac{c*x^2}{9}+1}}=\frac{1}{3}*\int\frac{dx}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{c}*x}{3}\right)^2+1}}
[/mm]
dann [mm] subst.:z=\frac{\sqrt{c}*x}{3}
[/mm]
gruß tee
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ahh sehr gut! ich hatte das mit dem 1/3 auch aber den term mit [mm] \wurzel{c} [/mm] nicht!
ich habs durchgerechnet, weicht aber ganz leicht von deiner lösung ab.
ich hab erstmal raus: [mm] arcsinh(z)/(\wurzel{c})=t+c
[/mm]
also mein endergebnis ist dann: [mm] x=3sinh(\wurzel{c}(t+c))/(\wurzel{c})
[/mm]
sooo ich hoffe mal, dass ich auch recht hab;)
aber jetzt muss ich ja noch den ganzen sch*** ableiten. naatoll
d/dt sinh(t) =cosh(t) ?? war das so?
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Hallo esteban_1986,
> ahh sehr gut! ich hatte das mit dem 1/3 auch aber den term
> mit [mm]\wurzel{c}[/mm] nicht!
> ich habs durchgerechnet, weicht aber ganz leicht von
> deiner lösung ab.
> ich hab erstmal raus: [mm]arcsinh(z)/(\wurzel{c})=t+c[/mm]
Für die rechte Seite ist das eine andere Konstante:
[mm]arcsinh(z)/(\wurzel{c})=t+c_\blue{{1}}[/mm]
> also mein endergebnis ist dann:
> [mm]x=3sinh(\wurzel{c}(t+c))/(\wurzel{c})[/mm]
> sooo ich hoffe mal, dass ich auch recht hab;)
> aber jetzt muss ich ja noch den ganzen sch*** ableiten.
> naatoll
> d/dt sinh(t) =cosh(t) ?? war das so?
Ja, das war so.
Das stellt aber keine Lösung dar, da hier x'(t) nie Null wird.
Gruss
MathePower
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ja danke, aber ich habe doch awp gegeben.
und zwar x(0)=A und x´(0)=0
ich weis ehh nicht wie ich das mit dem A machen soll.
also wenn mein ergebnis richitg ist: [mm] x=3sinh(\wurzel{c}(t+c1)/\wurzel{c}
[/mm]
und ich für t=0 mache, dann hab ich doch immernoch [mm] 3sinh(\wurzel{c}*c1)/\wurzel{c}=A
[/mm]
also ich weis nur über den sinh, dass er bei 0=null ist! aber sonst?
wenn ich mal rausgefunden habe was bei x(0)=A rauskommt, muss ich noch ableiten. könnt ih rmir dabei bisschen helfen bitte??
grüße este
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Hallo esteban_1986,
> ja danke, aber ich habe doch awp gegeben.
> und zwar x(0)=A und x´(0)=0
> ich weis ehh nicht wie ich das mit dem A machen soll.
Lass das A als eine nicht näher zu bestimmende Konstante stehen.
> also wenn mein ergebnis richitg ist:
> [mm]x=3sinh(\wurzel{c}(t+c1)/\wurzel{c}[/mm]
Die Lösung stimmt für c > 0.
> und ich für t=0 mache, dann hab ich doch immernoch
> [mm]3sinh(\wurzel{c}*c1)/\wurzel{c}=A[/mm]
> also ich weis nur über den sinh, dass er bei 0=null ist!
> aber sonst?
Deren Ableitung ist der cosh.
Und der cosh nimmt nur Werte größer oder gleich 1 an.
> wenn ich mal rausgefunden habe was bei x(0)=A rauskommt,
> muss ich noch ableiten. könnt ih rmir dabei bisschen
> helfen bitte??
Differenziere hier nach der Kettenregel.
> grüße este
>
Gruss
MathePower
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also ok die ableitung ist easy: x´ [mm] (t)=3cosh(\wurzel{c}(t+c1))
[/mm]
mit [mm] x´(0)=0=3cosh(\wurzel{c}*c1)
[/mm]
und jetzt nochmal zu x(0)=A, also das was ich habe kann ich nicht weiterzusammenfassen, stimmt doch oder?
soweit richtig? kann mir das mal jemand auflösen??
danke, hoffe ich mach nicht zu große probleme!!
grüße este
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Hallo esteban_1986,
> also ok die ableitung ist easy: x´
> [mm](t)=3cosh(\wurzel{c}(t+c1))[/mm]
> mit [mm]x´(0)=0=3cosh(\wurzel{c}*c1)[/mm]
Zeichne Dir den cosh mal auf, dann siehst Du,
daß der cosh nie den Wert 0 annehmen kann.
>
> und jetzt nochmal zu x(0)=A, also das was ich habe kann ich
> nicht weiterzusammenfassen, stimmt doch oder?
Ja, das ist richtig.
> soweit richtig? kann mir das mal jemand auflösen??
>
> danke, hoffe ich mach nicht zu große probleme!!
> grüße este
Gruss
MathePower
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also ich hab mir mal den cosh angeschaut. siehthalt aus wie eine parabel mit s(0;1).
ok also der kann nie null sein...aber was sagt mir das jetzt?
für a habe ich diesen komplizierten ausdruck: [mm] A=3sinh(\wurzel{c}*c1)/\wurzel{c}
[/mm]
vllt kannst du mir das ergebnis mal sagen, denn ich komm nicht wirklich drauf.
grüße, grüße
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Hallo esteban_1986,
> also ich hab mir mal den cosh angeschaut. siehthalt aus wie
> eine parabel mit s(0;1).
> ok also der kann nie null sein...aber was sagt mir das
> jetzt?
Diese Lösung ist zwar eine Lösung der DGL,
erfüllen aber nicht die gegebenen Anfangsbedingungen.
> für a habe ich diesen komplizierten ausdruck:
> [mm]A=3sinh(\wurzel{c}*c1)/\wurzel{c}[/mm]
>
> vllt kannst du mir das ergebnis mal sagen, denn ich komm
> nicht wirklich drauf.
Nun, berechnet wurde das Integral
[mm]\integral{\bruch{1}{\wurzel{9+c*x^{2}}} \ dx}[/mm]
für c > 0.
Dieses Integral ist für die Fälle
i) c > 0
ii) c = 0
iii) c < 0
zu berechnen.
Demnach ist das Integral jetzt nur noch
für die Fälle ii) und iii) zu berechnen.
> grüße, grüße
Gruss
MathePower
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eieiei...jetzt wirds ja schwierig!!
so für ii): dx/3=dt => x/3=t+c => x(t)=3(t+c1) => x´ (t)=3
und iii):wenn ich das so integriere wie zuvor: [mm] 3sinh(-\wurzel{c}*(t+c1)/-\wurzel{c}
[/mm]
und jetzt muss ich schaun bei welchen gleichungen ( i, ii, iii) ich meine constanten bekomme oder wie??
grüße este
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Hallo esteban_1986,
> eieiei...jetzt wirds ja schwierig!!
> so für ii): dx/3=dt => x/3=t+c => x(t)=3(t+c1) => x´
> (t)=3
> und iii):wenn ich das so integriere wie zuvor:
> [mm]3sinh(-\wurzel{c}*(t+c1)/-\wurzel{c}[/mm]
Das stimmt nicht.
Es muss für c < 0 herauskommen:
[mm]x\left(t\right)=\bruch{3}{\wurzel{-c}}*\sin\left(\wurzel{-c}*\left(t+c_{1}\right) \right)[/mm]
> und jetzt muss ich schaun bei welchen gleichungen ( i, ii,
> iii) ich meine constanten bekomme oder wie??
>
Wir haben schon den Fall i) (c>0) ausgeschlossen.
Bleiben also noch die Fälle ii) und iii).
Jetzt mußt Du schauen, welcher der
Fälle ii) oder iii) die Anfangsbedingungen erfüllt.
> grüße este
Gruss
MathePower
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ok danke! können wir nochmal ganz kurz über die integration reden?
ich hatte so gedacht:
1. [mm] 1/\wurzel{9-c*x^2}=1/3*\wurzel{(-c*x^2/9)+1}=1/3*\wurzel{(-x^2*c/9)+1}=1/3*\wurzel{(-\wurzel{c}*x/3)^2+1}
[/mm]
ich habe also nur mit der -1 rumgespielt und meiner meinung nach kein fehler gemacht. oder doch??
grüße este
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 So 07.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast zuviel mit - "rumgespielt, und dabei dann irgendwo [mm] (-\wurzel{c})^2 [/mm] =-c benutzt. das Quadrat jeder reelen Zahl ist positiv! genauer
[mm] 1/3\cdot{}\wurzel{(-x^2\cdot{}c/9)+1}\ne 1/3\cdot{}\wurzel{(-\wurzel{c}\cdot{}x/3)^2+1} [/mm]
[mm] 1/3\cdot{}\wurzel{(-x^2\cdot{}c/9)+1}=1/3\cdot{}\wurzel{-(\wurzel{c}\cdot{}x/3)^2+1} [/mm]
Geuaa leduart
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