DGL 1.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Di 25.07.2006 | | Autor: | Flieger |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende DGL:
[mm] \bruch{y'}{sin(x)}+y=1 [/mm] |
Hallo,
ich habe ein Problem mit folgende DGL.
Also folgendes habe ich schon gemacht:
[mm] \bruch{y'}{sin(x)}+y=1 [/mm] /*sin(x)
y'+y*sin(x)=Sin(x)
Jetzt löse ich die homogene DGL
y'+y*sin(x)=0
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = -sin(x)*y
[mm] \bruch{dy}{y} [/mm] = -sin(x) *dx
[mm] \integral_{ \bruch{dy}{y}} [/mm] = [mm] \integral_{ -sin(x) *dx}
[/mm]
ln |y | = cos(x) [mm] +C_{1}
[/mm]
|y | = [mm] e^C_{1} [/mm] * e^cos(x) ; [mm] C_{2}:=e^C_{1}
[/mm]
y = [mm] \pm C_{2}*e^cos(x) [/mm] ; [mm] C_{3}:=\pm C_{2}
[/mm]
y = [mm] C_{3}*e^cos(x)
[/mm]
Jetzt müsste ich ja [mm] y_{p} [/mm] lösen, bloß wie.
Ist der Ansatz richtig??
[mm] y_{p} [/mm] = C(x)*e^cos(x)
[mm] y_{p}' [/mm] = C'(x)*e^cos(x)+C(x)*cos(x)*e^cos(x)
Dieses müsste ich ja nun in die Anfangsgleichung einsetzen,
und dann müßte sich was rauskürzen, bloß das tut es nicht.
Über eure Hilfe würde ich mich freuen.
Mfg Flieger
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:29 Mi 26.07.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Flieger
> Lösen Sie folgende DGL:
> [mm]\bruch{y'}{sin(x)}+y=1[/mm]
> Hallo,
> ich habe ein Problem mit folgende DGL.
> Also folgendes habe ich schon gemacht:
>
> [mm]\bruch{y'}{sin(x)}+y=1[/mm] /*sin(x)
> y'+y*sin(x)=Sin(x)
>
> Jetzt löse ich die homogene DGL
> y'+y*sin(x)=0
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = -sin(x)*y
> [mm]\bruch{dy}{y}[/mm] = -sin(x) *dx
> [mm]\integral_{ \bruch{dy}{y}}[/mm] = [mm]\integral_{ -sin(x) *dx}[/mm]
>
> ln |y | = cos(x) [mm]+C_{1}[/mm]
> |y | = [mm]e^C_{1}[/mm] * e^cos(x) ; [mm]C_{2}:=e^C_{1}[/mm]
> y = [mm]\pm C_{2}*e^cos(x)[/mm] ; [mm]C_{3}:=\pm C_{2}[/mm]
> y =
> [mm]C_{3}*e^cos(x)[/mm]
>
> Jetzt müsste ich ja [mm]y_{p}[/mm] lösen, bloß wie.
> Ist der Ansatz richtig??
> [mm]y_{p}[/mm] = C(x)*e^cos(x)
> [mm]y_{p}'[/mm] = C'(x)*e^cos(x)+C(x)*cos(x)*e^cos(x)
Hier liegt dein Fehler! Richtig ist:
[mm]y_{p}'[/mm] = C'(x)*e^cos(x)-C(x)*sin(x)*e^cos(x)
dann kriegst du C' direkt, C faellt weg.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Flieger |
Jo danke,
nun komme ich erstmal weiter.
Wieder falsch gedacht.
Nochmal danke
Flieger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Mi 26.07.2006 | | Autor: | riwe |
nur eine frage:
wieso machst du das nicht einfach über "trennung der variablen"?
[mm]\frac{dy}{1-y}=sinx\cdot dx[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Do 27.07.2006 | | Autor: | Flieger |
Hilfe ich hänge schon wieder.
Wie löse ich den das folgende Intergral?
C(x)= [mm] \integral{ \bruch{sin(x)}{e^{cos(x)}}dx}??
[/mm]
Kann mir jmd. ne Ansatz geben, wäre nett.
Mfg Flieger
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Versuch mal mit y=cos(x) zu substituieren, dann wirds leicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Do 27.07.2006 | | Autor: | Flieger |
Erstmal wieder vielen Dank,
ja habe das jetzt mal probiert.
Ist das so ok??
[mm] \integral{ \bruch{sin(x)}{e^{cos(x)} dx}}
[/mm]
Subst.
t=cos(x)
dt = -sin(x) dx
dx = [mm] \bruch{dt}{-sin(x)}
[/mm]
einsetzen
-1 [mm] \integral{ \bruch{sin(x)}{e^t}* \bruch{dt}{sin(x)}}
[/mm]
-1 [mm] \integral{ \bruch{dt}{e^t}}
[/mm]
-1 [mm] \integral{ln|e^t|dt }
[/mm]
-1 [mm] \integral{t dt}
[/mm]
[mm] -1*\bruch{1}{2}t^2
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2}cos^2(x)
[/mm]
Oder ist da noch was falsch??
Nochmal thx für die Hilfe
Mfg Flieger
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[mm] dx=\frac{dt}{-sin(t)}
[/mm]
[mm] ...=\int \sin(x)\frac{e^{-t}}{-\sin(x)} \, [/mm] dt
[mm] =\int -e^{-t}\, [/mm] dt
[mm] =e^{-t}=e^{-cos(x)}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Do 27.07.2006 | | Autor: | riwe |
versuche es doch einmal (ganz einfach) umgekehrt:
differenziere [mm] e^{-cosx}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Do 27.07.2006 | | Autor: | Docy |
Darf ich da mal kurz dazwischen funken ...
Wieso setzt du die Gleichung gleich 0, wo sie doch gleich sin(x) ist?
Ich weiß, dass passt jetzt vtl nicht so gut, aber ich würd's gerne wissen.
(Bin noch ein Anfänger) 
Gruß
Docy
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Hallo Docy!
Bei Differentialgleichungen ist es üblich, zunächst die homogene Gleichung (sprich mit $... \ = \ [mm] \red{0}$) [/mm] zu lösen und anschließend erst die partikuläre Lösung mit dem Störglied (hier: [mm] $\sin(x)$ [/mm] ) zu ermitteln.
Dei Gesamtlösung besteht dann aus homogener Lösung plus partikuläre Lösung.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Do 27.07.2006 | | Autor: | Docy |
Aso!!!
Danke für die Antwort Roadrunner!
Wäre das zuviel verlangt, wenn ich dich noch bitten würde, mir zu zeigen, wie man anschließend die partikuläre Lösung ermittelt?
Bin sehr an Differenzialgleichungen interessiert, bloß das Bisschen, was wir in der Schule gemacht haben, war einfach zu wenig.
Wenn du mir evtl einen geeigneten Link empfehlen könntest ... das wäre sehr nett.
(PS: Du musst mir dann natürlich nix erklären...aber musst du ja sowieso nicht  )
Gruß Docy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Do 27.07.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Docy!
Kommst Du mit ![[]](/images/popup.gif) diesem Link weiter?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Do 27.07.2006 | | Autor: | Docy |
Fast, hab noch ne kleine Frage zu dem Link (wenn du nichts dagegen hast).
Also, bei dem Beispiel habe ich verstanden, dass man die Konstante durch eine Funktion ersetzt, im Beispiel also das A durch u(x)! Die Lösung der homogenen Gleichung lautete:
[mm] y_{h}= A*e^{-F(x)}
[/mm]
die der partikulären aber:
[mm] y_{p}= u(x)*e^{\integral{}{}{-F(x) dx}}
[/mm]
Wo kommt den das Integral her?
Danke und schönen Gruß
Docy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Do 27.07.2006 | | Autor: | Docy |
Ah, jetzt ist alles klar!
Sorry für die Mühe und danke für die tolle Hilfe (und den tollen Link)!
Hab leider keine Ahnung, wie ich das in eine Mitteilung umwandle....
MfG
Docy
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