DGL 1.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | y(x)' = [mm] \bruch{y(x)}{x}-y(x)^{-1} [/mm] |
Hallo!
Ich habe versucht die DGL zu lösen und komme auf folgendes Ergebnis:
[mm] y^2(x) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] * C - 2x + D
Das richtige Ergebnis laut TI und Wolfram Alpha ist aber
[mm] y^2(x) [/mm] = [mm] x^2 [/mm] * C + 2x + D
Meine Frage nun, wie kommt hier das Plus zustande?
Ich hab ganz normal zuerst homogen gelöst [mm] y^2 [/mm] mit z substituiert usw. und dann inhomogen gelöst. Kann mir wer helfen? ich hab das beispiel mittlerweile schon min. 5 mal gerechnet und es kommt immer wieder das gleiche raus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> y(x)' = [mm]\bruch{y(x)}{x}-y(x)^{-1}[/mm]
> Hallo!
>
> Ich habe versucht die DGL zu lösen und komme auf folgendes
> Ergebnis:
> [mm]y^2(x)[/mm] = [mm]x^2[/mm] * C - 2x + D
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> Das richtige Ergebnis laut TI und Wolfram Alpha ist aber
> [mm]y^2(x)[/mm] = [mm]x^2[/mm] * C + 2x + D
>
> Meine Frage nun, wie kommt hier das Plus zustande?
Die Frage ist: wie kommt Dein "Minus" zustande ?
Zeig Deine Rechnungen !
Und woher kommt diese Konstante D ? Für D [mm] \ne [/mm] 0 ist weder
[mm]y^2(x)[/mm] = [mm]x^2[/mm] * C - 2x + D
noch
[mm]y^2(x)[/mm] = [mm]x^2[/mm] * C + 2x + D
Lösung.
Ich hab heraus: [mm] $y^2(x)= Cx^2+2x$
[/mm]
FRED
> Ich hab ganz normal zuerst homogen gelöst [mm]y^2[/mm] mit z
> substituiert usw. und dann inhomogen gelöst. Kann mir wer
> helfen? ich hab das beispiel mittlerweile schon min. 5 mal
> gerechnet und es kommt immer wieder das gleiche raus.
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Also ich hab angefangen:
[mm] y^2 [/mm] = z
dann
z' = 2y*y'
dann
[mm] \bruch{z'}{2 \wurzel{z}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{z}}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel{z}}
[/mm]
dann [mm] \wurzel{z} [/mm] gekürzt und mit 2 multipliziert
z' = [mm] \bruch{2z}{x} [/mm] - 2
dann die inhomogene gelöst
[mm] \integral {\bruch{1}{z} dz} [/mm] = [mm] \integral {\bruch{2}{x} dx}
[/mm]
die ln die rauskommen und die Konstante "e hoch genommen"
z = [mm] x^2*k
[/mm]
dann abgeleitet
z' = [mm] x^2*k' [/mm] + 2x*k
eingesetzt gekürzt und dann für k'=0 erhalten das dann integriet und k=C erhalten
Die homogene lautet dann z = [mm] x^2*C
[/mm]
Dann die inhomogene:
dafür die homogene in die "grundform" eingesetzt:
z' = 2x*C - 2 <-- da eben das Minus
das dann integriert und zu meiner falschen Lösung gekommen
z (bzw [mm] y^2) [/mm] = [mm] x^{2}C [/mm] - 2x (das D kommt bei mir von der Integration, ich hab gedacht da sollte man auch zur sicherheit noch die Konstante dazuschreiben...)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also ich hab angefangen:
> [mm]y^2[/mm] = z
> dann
> z' = 2y*y'
> dann
> [mm]\bruch{z'}{2 \wurzel{z}}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{z}}{x}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{z}}[/mm]
> dann [mm]\wurzel{z}[/mm] gekürzt und mit 2 multipliziert
> z' = [mm]\bruch{2z}{x}[/mm] - 2
> dann die inhomogene gelöst
> [mm]\integral {\bruch{1}{z} dz}[/mm] = [mm]\integral {\bruch{2}{x} dx}[/mm]
>
> die ln die rauskommen und die Konstante "e hoch genommen"
> z = [mm]x^2*k[/mm]
> dann abgeleitet
> z' = [mm]x^2*k'[/mm] + 2x*k
> eingesetzt gekürzt und dann für k'=0 erhalten das dann
> integriet und k=C erhalten
> Die homogene lautet dann z = [mm]x^2*C[/mm]
> Dann die inhomogene:
> dafür die homogene in die "grundform" eingesetzt:
> z' = 2x*C - 2 <-- da eben das Minus
Das verstehe wer will ! Für eine spezielle Lösung der inhomogene Gl. machst Du also den Ansatz z= [mm] Cx^2. [/mm] Wenn ich das differenziere und in die DGL einsetze, erhalte ich
[mm] C'=-2/x^2
[/mm]
also C=2/x
FRED
> das dann integriert und zu meiner falschen Lösung
> gekommen
> z (bzw [mm]y^2)[/mm] = [mm]x^{2}C[/mm] - 2x (das D kommt bei mir von der
> Integration, ich hab gedacht da sollte man auch zur
> sicherheit noch die Konstante dazuschreiben...)
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