DGL 1.Ordnung Lösungshilfe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen sie die allg. Lösung der Differentialgleichung:
[mm] y^{´}+\bruch{2-3x^2}{x^3}*y=1 [/mm] , [mm] x\not=0 [/mm] |
Bisher sieht meine Lösung und Lösungsweg wie folgt aus:
[mm] \bruch{dy}{dx}+\bruch{2}{x^3}-\bruch{3}{x}*y=0
[/mm]
[mm] \integral\bruch{1}{y}dy=\integral(\bruch{-2}{x^3}+\bruch{3}{x})dx
[/mm]
[mm] ln(y)=x^{-2}+3*ln(x)+c
[/mm]
[mm] y=\pm e^{x^{-2}+3*ln(x)+c}
[/mm]
[mm] y=\pm e^{c}*e^{{x^{-2}}+3*ln(x)}
[/mm]
[mm] e^c=k
[/mm]
[mm] y=k*e^{{x^{-2}}+3*ln(x)}
[/mm]
[mm] y^{´}=k^{´}*e^{{x^{-2}}+3*ln(x)}-2x^{-3}+\bruch{3}{x}*k*e^{{x^{-2}}+3*ln(x)}
[/mm]
Einsetzen in die Inhomogene, dann bleibt übrig:
[mm] k^{´}*e^{{x^{-2}}+3*ln(x)}=1
[/mm]
[mm] k^{´}=e^{{-x^{-2}}-3*ln(x)}
[/mm]
[mm] \integral dk=\integral e^{{-x^{-2}}-3*ln(x)}*dx
[/mm]
[mm] k(x)=c+\integral [e^{{-x^{-2}}-3*ln(x)}]dx
[/mm]
[mm] y=e^{{x^{-2}}+3*ln(x)}*(c+\integral [e^{{-x^{-2}}-3*ln(x)}]dx)
[/mm]
So meine Frage, war es das? oder kommt laut aufgabenstellung noch was dazu? und wie mach ich das? Wie integriere ich das [mm] e^{...}? [/mm] Ist meine Rechnung bis dahin Richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Fr 28.05.2010 | | Autor: | haxenpeter |
bitte um hilfe. danke
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Ah ok übersehn mit der vereinfachung. dann sieht das mit der subtitution wie folgt aus?!
.....
[mm] \integral dk=\integral (x^{-3}*e^{u})du
[/mm]
[mm] k(x)=c-\bruch{1}{2}x^{-2}*e^{u} [/mm] Subtitution rückgängig machen
[mm] k(x)=c-\bruch{1}{2}x^{-2}*e^{-x^{-2}}
[/mm]
[mm] y_{Spez}=x^{3}*e^{x^{-2}}*(c-\bruch{1}{2}x^{-2}*e^{-x^{-2}})
[/mm]
[mm] y_{Spez}=x^{3}*c-\bruch{1}{2}x^{-2}
[/mm]
Is das jetzt so richtig? und ist das die Lösung der Aufgabe?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Fr 28.05.2010 | | Autor: | haxenpeter |
bitte um antwort..danke
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> Ah ok übersehn mit der vereinfachung. dann sieht das mit
> der subtitution wie folgt aus?!
> .....
[mm] u=-x^{-2}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}=2*x^{-3}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{2}*x^3du
[/mm]
[mm] \int dk=\int x^{-3}*e^{-x^2}dx
[/mm]
[mm] =\int x^{-3}*e^{u}*\bruch{1}{2}*x^3du
[/mm]
[mm] =\int \bruch{1}{2}*e^{u}du
[/mm]
[mm] k=\bruch{1}{2}*e^u+D
[/mm]
[mm] k=\bruch{1}{2}*e^{-x^{-2}}+D
[/mm]
[mm] y=\left(\bruch{1}{2}*e^{-x^{-2}}+D \right)*x^3*e^{x^{-2}}
[/mm]
[mm] y=\bruch{1}{2}*x^3+D*x^3*e^{x^{-2}}
[/mm]
Probe: y differenzieren und in die DGL einsetzen.
> [mm]\integral dk=\integral (x^{-3}*e^{u})du[/mm]
>
> [mm]k(x)=c-\bruch{1}{2}x^{-2}*e^{u}[/mm] Subtitution rückgängig
> machen
> [mm]k(x)=c-\bruch{1}{2}x^{-2}*e^{-x^{-2}}[/mm]
>
> [mm]y_{Spez}=x^{3}*e^{x^{-2}}*(c-\bruch{1}{2}x^{-2}*e^{-x^{-2}})[/mm]
>
> [mm]y_{Spez}=x^{3}*c-\bruch{1}{2}x^{-2}[/mm]
>
> Is das jetzt so richtig? und ist das die Lösung der
> Aufgabe?
LG, Martinius
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Ich versteh diesen ( grün makierten) schritt nicht
$ [mm] u=-x^{-2} [/mm] $
$ [mm] \bruch{du}{dx}=2\cdot{}x^{-3} [/mm] $ warum mach [mm] ich\bruch{du}{dx} [/mm] und woher kommt die [mm] 2\cdot{}x^{-3} [/mm]
$ [mm] dx=\bruch{1}{2}\cdot{}x^3du [/mm] $
woher kommt jetzt die [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}x^3du [/mm]
$ [mm] \int dk=\int x^{-3}\cdot{}e^{-x^2}dx [/mm] $
$ [mm] =\int x^{-3}\cdot{}e^{u}\cdot{}\bruch{1}{2}\cdot{}x^3du [/mm] $
$ [mm] =\int \bruch{1}{2}\cdot{}e^{u}du [/mm] $
$ [mm] k=\bruch{1}{2}\cdot{}e^u+D [/mm] $
$ [mm] k=\bruch{1}{2}\cdot{}e^{-x^{-2}}+D [/mm] $
$ [mm] y=\left(\bruch{1}{2}\cdot{}e^{-x^{-2}}+D \right)\cdot{}x^3\cdot{}e^{x^{-2}} [/mm] $
$ [mm] y=\bruch{1}{2}\cdot{}x^3+D\cdot{}x^3\cdot{}e^{x^{-2}} [/mm] $
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Di 01.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
beherrschst u das integrieren mit Substitution gar nicht?
wenn du die Substitutiom u=h(x) machst musst du erstens im Integral alle x durch u ersetzen, 2. musst du dx durch du ersetzen, wobei ja u'=du/dx=f' also du=f'(x)dx ist.
Was du vorher gemacht hast ist sehr falsch.
Dein Ergebnis eines Integrals kannst du ja immer durch differenzieren überprüfen.
Vielleicht guckst du dir die Herleitung der Substitutionsregel noch mal an!
Gruss leduart
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
