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| Aufgabe | Lösen Sie folgende Differentialgleichung:
[mm] x*y\bruch{dy}{dx}=x^2+y^2 [/mm] |
Hi,
also ich habe probiert zu substituieren und zwar [mm] v=y^2 [/mm] . Dann ist [mm] y'=\bruch{v'}{2y} [/mm] wir bekommen also:
[mm] x*y*\bruch{v'}{2y}=x^2+v
[/mm]
[mm] x*\bruch{v'}{2}=x^2+v
[/mm]
[mm] v'-2*\bruch{v}{x}=2x
[/mm]
Daraus folgt die Lösung:
[mm] v=x^2*(2ln(x)+C) [/mm] also [mm] y=\wurzel{x^2*(2ln(x)+C)}
[/mm]
ist das was ich gemacht habe korrekt ?
lg,
exeqter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 So 27.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie folgende Differentialgleichung:
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> [mm]x*y\bruch{dy}{dx}=x^2+y^2[/mm]
> Hi,
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> also ich habe probiert zu substituieren und zwar [mm]v=y^2[/mm] .
> Dann ist [mm]y'=\bruch{v'}{2y}[/mm] wir bekommen also:
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> [mm]x*y*\bruch{v'}{2y}=x^2+v[/mm]
>
> [mm]x*\bruch{v'}{2}=x^2+v[/mm]
>
> [mm]v'-2*\bruch{v}{x}=2x[/mm]
>
> Daraus folgt die Lösung:
>
> [mm]v=x^2*(2ln(x)+C)[/mm] also [mm]y=\wurzel{x^2*(2ln(x)+C)}[/mm]
> ist das was ich gemacht habe korrekt ?
Ja, fast. Was ist mit
[mm]y=-\wurzel{x^2*(2ln(x)+C)}[/mm] ?
Mach Dir noch Gedanken um den Def.-Bereich der LÖsungen.
FRED
>
> lg,
>
> exeqter
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Hallo fred,
danke für die antwort. Der definitionsbereich müssten doch alle x>0 sein?! Und C sollte positiv sein, da ansonsten der ausdruck unter wurzel negativ wird.
Die nagtive Wurzel wäre meiner Meinung nach auch eine Lösung.
lg,
exeqter
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Hallo eXeQteR,
> Hallo fred,
>
> danke für die antwort. Der definitionsbereich müssten
> doch alle x>0 sein?! Und C sollte positiv sein, da
> ansonsten der ausdruck unter wurzel negativ wird.
Den Definitionsbereich kannst Du doch genau angeben,
wenn Du Dir überlegst, daß
[mm]2*\ln\left(x\right)+C \ge 0[/mm]
gelten muss.
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> Die nagtive Wurzel wäre meiner Meinung nach auch eine
> Lösung.
Die negative Wurzel ist auch eine Lösung.
Ich denke, die Lösung muss hier doch so lauten:
[mm]y=\pm x*\wurzel{2*\ln\vmat{x}+C}[/mm]
>
> lg,
>
> exeqter
Gruss
MathePower
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