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| Aufgabe | Gegeben sei die DGL
y' [mm] +y*\sin(x) +y^2 e^{-\cos(x)} [/mm] = 0 mit der Anfangsbedingung y(0)=1. Zeige das dieses Anfangswertproblem genau eine Lösung [mm] \phi [/mm] hat. Wo ist diese Lösung definiert. Zeige das [mm] \phi(x) [/mm] >0 auf ihrem Definitonsbereich.
c) Sei [mm] \psi [/mm] = [mm] \bruch{1}{\phi}. [/mm] Zeige das [mm] \psi [/mm] eine Lösung von [mm] y'=y*\sin(x) [/mm] + x* [mm] e^{-\cos(x)} [/mm] y(0)=1 ist. Berechne dann [mm] \phi [/mm] |
Irgendwie versteh ich den Sinn der Aufgabe nicht. Also das ist eine BernoulliDLG und die kann ich schnell lösen. Aber ich habe irgendwie das Gefühl das ich das erst am ende machen soll. Also die Eindeutigkeit und Existenz der Lösung auf einem Intervall [mm] [x_{0}-\varepsilon, x_{0}+\varepsilon] [/mm] ergibt sich aus dem Satz von Picard Lindelöf(denk ich mal so) denn die Partiellen Ableitungen nach x und y sind stetig genügen also lokal einer Lipschitzbedingung.
Stimmt das so? Wie ich das Zeigen soll das [mm] \phi [/mm] (x) >0(ohne es auszurechnen) auf dem Definitionsbereich weiß ich noch nicht
zu aufgabe c) Wenn [mm] \psi= \bruch{1}{\phi} [/mm] dann ist [mm] \psi' [/mm] = - [mm] \bruch{\phi'}{\phi^2}.(Quotientenregel). [/mm] Nun löst [mm] \phi [/mm] ja die Gleichung in b) also gilt für [mm] \phi'= f(x,\phi(x)) [/mm] . Es folgt [mm] \psi'= \bruch{\phi*\sin(x) + \phi^2 e^{-cos(x)}}{\phi^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\phi} \sin(x) [/mm] + [mm] e^{-\cos(x)}. [/mm] Wenn [mm] \psi [/mm] die angegebene DGL in c) lösen will ist [mm] \psi' [/mm] = [mm] \psi [/mm] sin(x) + [mm] x*e^{-\cos(x)}. [/mm] Das würde ja mit der Bedingung in c) [mm] \psi= \bruch{1}{\phi} [/mm] stimmen was mich stört ist das x. Habe ich was falsch gemacht?
Danke für die Antwort
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Mo 29.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
zua)Du hast [mm] \Phi(0)>0 [/mm] eindeutige Lösung.angenommen [mm] \Phi(a)=0 [/mm] dann folgt daraus die eindeutige Lösung zu diesem Anfangswert [mm] :\Phi(x)=0
[/mm]
zuc) ich dnk das ist ein Druckfehler in der Aufgabe, -frag nach,das kommt vor- ich seh keinen Fehler bei dir.Vielleicht findet ihn doch jemand, drum bleibt die Frage auf halb beantwortet.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 02.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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