DGL 2.Ord. durch Subst. lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie die DGL:
[mm] y''=4y^{3}-2*y
[/mm]
mit y(0)=1 und [mm] y'(0)=\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] |
Hallo,
ich hatte diese DGL schonmal gepostet, da aber den Thread selbst etwas versaubeutelt. Hab ihn daher versteckt und hätte nur gerne, dass jemand mal über meine Lösung schaut, nicht, dass ich mich irgendwo vertan habe!
Hier meine Lösung :
Substitution: [mm] p=\bruch{dy}{dx} [/mm] daraus folgt nach der Kettenregel [mm] \bruch{dp}{dx}=p*\bruch{dp}{dy}
[/mm]
Dann:
[mm] p*\bruch{dp}{dy}=4y^3-2y
[/mm]
Integration nach y:
[mm] \bruch{p^2}{2}=y^4-y^2+C
[/mm]
Einsetzen der Werte ergibt [mm] C=\bruch{1}{4}. [/mm] Dies wiederrum bedeutet, dass
[mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{dy}{dx}\right)^2=\bruch{1}{4}*(2y^2-1)^2 [/mm] ist, daher:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*\bruch{dx}{dy}=\pm\bruch{1}{2y^2-1}
[/mm]
Zwischenfrage: Was mache ich mit dem Fall [mm] -\bruch{1}{2y^2-1} [/mm] ? Ist der hier zu betrachten, ich denke schon, oder ?
Weiter im Text:
Integration nach y:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*x+D=\integral{\bruch{1}{2y^2-1} dy}=\integral{\bruch{-\bruch{1}{2}}{\wurzel{2}y+1} dy}+\integral{\bruch{\bruch{1}{2}}{\wurzel{2}y-1} dy}
[/mm]
Dies liefert mir am Ende:
[mm] x+D'=-\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{\wurzel{2}y+1}{\wurzel{2}y-1}\right)
[/mm]
(ich habe mit [mm] \wurzel{2} [/mm] multipliziert und dies mit in die Integrationskonstante einbezogen, das geht doch, oder ?)
Einsetzen der Bedingungen liefert [mm] D'=-\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{\wurzel{2}+1}{\wurzel{2}-1}\right).
[/mm]
Damit ist die Lösung:
[mm] x-\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{\wurzel{2}+1}{\wurzel{2}-1}\right)=-\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{\wurzel{2}y+1}{\wurzel{2}y-1}\right)
[/mm]
Bleibt nur noch die minusgeschichte zu klären und die Tatsache ob ich nicht irgendwo mist gebaut habe. Würde mich freuen, wenn mal jemand drüber schaut.
Vielen Dank,
exe
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Hallo eXeQteR,
> Lösen Sie die DGL:
>
> [mm]y''=4y^{3}-2*y[/mm]
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> mit y(0)=1 und [mm]y'(0)=\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> Hallo,
>
> ich hatte diese DGL schonmal gepostet, da aber den Thread
> selbst etwas versaubeutelt. Hab ihn daher versteckt und
> hätte nur gerne, dass jemand mal über meine Lösung
> schaut, nicht, dass ich mich irgendwo vertan habe!
>
> Hier meine Lösung :
>
> Substitution: [mm]p=\bruch{dy}{dx}[/mm] daraus folgt nach der
> Kettenregel [mm]\bruch{dp}{dx}=p*\bruch{dp}{dy}[/mm]
>
> Dann:
> [mm]p*\bruch{dp}{dy}=4y^3-2y[/mm]
>
> Integration nach y:
> [mm]\bruch{p^2}{2}=y^4-y^2+C[/mm]
>
> Einsetzen der Werte ergibt [mm]C=\bruch{1}{4}.[/mm] Dies wiederrum
> bedeutet, dass
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\left(\bruch{dy}{dx}\right)^2=\bruch{1}{4}*(2y^2-1)^2[/mm]
> ist, daher:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}*\bruch{dx}{dy}=\pm\bruch{1}{2y^2-1}[/mm]
>
> Zwischenfrage: Was mache ich mit dem Fall
> [mm]-\bruch{1}{2y^2-1}[/mm] ? Ist der hier zu betrachten, ich denke
> schon, oder ?
Aufgrund der Anfangsbedingungen fällt dieser Fall weg.
>
> Weiter im Text:
> Integration nach y:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}*x+D=\integral{\bruch{1}{2y^2-1} dy}=\integral{\bruch{-\bruch{1}{2}}{\wurzel{2}y+1} dy}+\integral{\bruch{\bruch{1}{2}}{\wurzel{2}y-1} dy}[/mm]
>
> Dies liefert mir am Ende:
>
> [mm]x+D'=-\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{\wurzel{2}y+1}{\wurzel{2}y-1}\right)[/mm]
> (ich habe mit [mm]\wurzel{2}[/mm] multipliziert und dies mit in die
> Integrationskonstante einbezogen, das geht doch, oder ?)
Sicher geht das.
>
> Einsetzen der Bedingungen liefert
> [mm]D'=-\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{\wurzel{2}+1}{\wurzel{2}-1}\right).[/mm]
>
> Damit ist die Lösung:
>
> [mm]x-\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{\wurzel{2}+1}{\wurzel{2}-1}\right)=-\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{\wurzel{2}y+1}{\wurzel{2}y-1}\right)[/mm]
>
> Bleibt nur noch die minusgeschichte zu klären und die
> Tatsache ob ich nicht irgendwo mist gebaut habe. Würde
> mich freuen, wenn mal jemand drüber schaut.
>
> Vielen Dank,
>
> exe
Gruss
MathePower
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Hi,
danke für deine Antwort.
> Hallo eXeQteR,
>
> > Lösen Sie die DGL:
> >
> > [mm]y''=4y^{3}-2*y[/mm]
> >
> > mit y(0)=1 und [mm]y'(0)=\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> > Hallo,
> >
> > ich hatte diese DGL schonmal gepostet, da aber den Thread
> > selbst etwas versaubeutelt. Hab ihn daher versteckt und
> > hätte nur gerne, dass jemand mal über meine Lösung
> > schaut, nicht, dass ich mich irgendwo vertan habe!
> >
> > Hier meine Lösung :
> >
> > Substitution: [mm]p=\bruch{dy}{dx}[/mm] daraus folgt nach der
> > Kettenregel [mm]\bruch{dp}{dx}=p*\bruch{dp}{dy}[/mm]
> >
> > Dann:
> > [mm]p*\bruch{dp}{dy}=4y^3-2y[/mm]
> >
> > Integration nach y:
> > [mm]\bruch{p^2}{2}=y^4-y^2+C[/mm]
> >
> > Einsetzen der Werte ergibt [mm]C=\bruch{1}{4}.[/mm] Dies wiederrum
> > bedeutet, dass
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{2}*\left(\bruch{dy}{dx}\right)^2=\bruch{1}{4}*(2y^2-1)^2[/mm]
> > ist, daher:
> >
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}*\bruch{dx}{dy}=\pm\bruch{1}{2y^2-1}[/mm]
> >
> > Zwischenfrage: Was mache ich mit dem Fall
> > [mm]-\bruch{1}{2y^2-1}[/mm] ? Ist der hier zu betrachten, ich
> denke
> > schon, oder ?
>
>
> Aufgrund der Anfangsbedingungen fällt dieser Fall weg.
Wie kann ich das aus den Anfangbedingungen entnehmen? Das habe ich noch nicht ganz verstanden...
> >
> > Weiter im Text:
> > Integration nach y:
> >
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}*x+D=\integral{\bruch{1}{2y^2-1} dy}=\integral{\bruch{-\bruch{1}{2}}{\wurzel{2}y+1} dy}+\integral{\bruch{\bruch{1}{2}}{\wurzel{2}y-1} dy}[/mm]
>
> >
> > Dies liefert mir am Ende:
> >
> >
> [mm]x+D'=-\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{\wurzel{2}y+1}{\wurzel{2}y-1}\right)[/mm]
> > (ich habe mit [mm]\wurzel{2}[/mm] multipliziert und dies mit in
> die
> > Integrationskonstante einbezogen, das geht doch, oder ?)
>
>
> Sicher geht das.
>
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> >
> > Einsetzen der Bedingungen liefert
> >
> [mm]D'=-\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{\wurzel{2}+1}{\wurzel{2}-1}\right).[/mm]
> >
> > Damit ist die Lösung:
> >
> >
> [mm]x-\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{\wurzel{2}+1}{\wurzel{2}-1}\right)=-\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{\wurzel{2}y+1}{\wurzel{2}y-1}\right)[/mm]
> >
> > Bleibt nur noch die minusgeschichte zu klären und die
> > Tatsache ob ich nicht irgendwo mist gebaut habe. Würde
> > mich freuen, wenn mal jemand drüber schaut.
> >
> > Vielen Dank,
> >
> > exe
>
>
> Gruss
> MathePower
lg
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Hallo eXeQteR,
> Hi,
>
> danke für deine Antwort.
>
> > Hallo eXeQteR,
> >
> > > Lösen Sie die DGL:
> > >
> > > [mm]y''=4y^{3}-2*y[/mm]
> > >
> > > mit y(0)=1 und [mm]y'(0)=\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> > > Hallo,
> > >
> > > ich hatte diese DGL schonmal gepostet, da aber den Thread
> > > selbst etwas versaubeutelt. Hab ihn daher versteckt und
> > > hätte nur gerne, dass jemand mal über meine Lösung
> > > schaut, nicht, dass ich mich irgendwo vertan habe!
> > >
> > > Hier meine Lösung :
> > >
> > > Substitution: [mm]p=\bruch{dy}{dx}[/mm] daraus folgt nach der
> > > Kettenregel [mm]\bruch{dp}{dx}=p*\bruch{dp}{dy}[/mm]
> > >
> > > Dann:
> > > [mm]p*\bruch{dp}{dy}=4y^3-2y[/mm]
> > >
> > > Integration nach y:
> > > [mm]\bruch{p^2}{2}=y^4-y^2+C[/mm]
> > >
> > > Einsetzen der Werte ergibt [mm]C=\bruch{1}{4}.[/mm] Dies wiederrum
> > > bedeutet, dass
> > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{1}{2}*\left(\bruch{dy}{dx}\right)^2=\bruch{1}{4}*(2y^2-1)^2[/mm]
> > > ist, daher:
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}*\bruch{dx}{dy}=\pm\bruch{1}{2y^2-1}[/mm]
> > >
> > > Zwischenfrage: Was mache ich mit dem Fall
> > > [mm]-\bruch{1}{2y^2-1}[/mm] ? Ist der hier zu betrachten, ich
> > denke
> > > schon, oder ?
> >
> >
> > Aufgrund der Anfangsbedingungen fällt dieser Fall weg.
>
> Wie kann ich das aus den Anfangbedingungen entnehmen? Das
> habe ich noch nicht ganz verstanden...
Wir haben die Gleichung
[mm]y'=\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}\left(2*y^{2}-1\right)[/mm]
Da [mm]y'(0)=\bruch{1}{\wurzel{2}} > 0[/mm] muß
auch [mm]\pm\bruch{1}{\wurzel{2}}\left(2*y(0)^{2}-1\right) > 0[/mm] sein.
Weiterhin ist [mm]y(0)=1[/mm] und somit [mm]2*y(0)^{2}-1=1 > 0[/mm]
Daher kommt hier nur das "+" in Frage.
>
> > >
> > > Weiter im Text:
> > > Integration nach y:
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}*x+D=\integral{\bruch{1}{2y^2-1} dy}=\integral{\bruch{-\bruch{1}{2}}{\wurzel{2}y+1} dy}+\integral{\bruch{\bruch{1}{2}}{\wurzel{2}y-1} dy}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Dies liefert mir am Ende:
> > >
> > >
> >
> [mm]x+D'=-\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{\wurzel{2}y+1}{\wurzel{2}y-1}\right)[/mm]
> > > (ich habe mit [mm]\wurzel{2}[/mm] multipliziert und dies mit
> in
> > die
> > > Integrationskonstante einbezogen, das geht doch, oder ?)
> >
> >
> > Sicher geht das.
> >
> >
> > >
> > > Einsetzen der Bedingungen liefert
> > >
> >
> [mm]D'=-\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{\wurzel{2}+1}{\wurzel{2}-1}\right).[/mm]
> > >
> > > Damit ist die Lösung:
> > >
> > >
> >
> [mm]x-\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{\wurzel{2}+1}{\wurzel{2}-1}\right)=-\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{\wurzel{2}y+1}{\wurzel{2}y-1}\right)[/mm]
> > >
> > > Bleibt nur noch die minusgeschichte zu klären und die
> > > Tatsache ob ich nicht irgendwo mist gebaut habe. Würde
> > > mich freuen, wenn mal jemand drüber schaut.
> > >
> > > Vielen Dank,
> > >
> > > exe
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> lg
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Fr 12.02.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Super,
danke für die erneute Antwort.
Schönen Abend,
exe
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