DGL 2.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hi@all
hab ein paar probleme mit dgls höherer ordnung zu lösen, bzw überhaupt den ansatz zu verstehen.
also ich hab die dgl: x'' + 4x' + 3x = sin(t), wobei x= x(t)
ich gehe mal rein nach den schema vor was ich hier stehen hab, also löse ich zuerst die homnogene dgl, sprich ich setzt sint=0
und kann als lösung [mm] e^{\lambda*t} [/mm] annehmen. wenn ichs 2 mal ableite, alles einsetze, nach lambda auflöse und die beiden entstehenden e terme als linearkombis schreibe erhalte ich:
[mm] x=c_{1}*e^{-3t}+c_{2}*e^{-t} [/mm] (ist richtig habs geprüft)
ok jetzt hab ich aber nur die lösung der homogenen dgl. bei dgls 1. ordnung haben wir es dann immer mir variation der konstanten gemacht aber hier hab ich jetzt stehen:
Ansatz: x=A*cos(3t)+B*sin(3t)
jetzt meine frage: woher kommt der ansatz? (glaub muss den ansatz komplex wählen, wenn man komplexe nullstellen rausbekommt, oder?)
was brint er?
und vorallem wo, oder wie muss ich ihn einsetzten???
haben dann nachher A und B mithilfe des Koeffizientenvergleichs ausgerechnet und dann gesagt lösung der allgemeinen DGL ist:
x=spezielle lsg (das mit sin und cos und den koeffizienten) +homogene lsg (das mit den 2 e-fkt)
leider hat unser übungsgruppenleiter das in 5 mins gerechnet, weil wir keine zeit mehr hatten und donnerstag schreiben wa schon klausur...
(bitte zu viel fachchinesisch benutzen ich studiere kein mathe ;) )
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Hallo Arvi!
Kann es sein, dass Deine Ausgangs-DGL $x''+4*x'+3*x \ = \ [mm] \sin(\red{3}*t)$ [/mm] lautet?
Denn damit würde sich auch der Ansatz für die Variation der Konstanten ergeben?
Für derartige Inhomogenitäten mit den Winkelfunktionen [mm] $\sin(...)$ [/mm] und [mm] $\cos(...)$ [/mm] wählt man dann stets den genannten Ansatz, da ja [mm] $\sin(...)$ [/mm] abgeleitet [mm] $\cos(...)$ [/mm] ergibt und umgekehrt.
Leite den Term $x \ = \ [mm] A*\cos(3t)+B*\sin(3t)$ [/mm] zweimal ab und setze in die Ausgangs-DGL ein. Damit kannst Du dann $A_$ und $B_$ ermitteln.
Grß vom
Roadrunner
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jo hab mich vertippt sollte sin(3t) sein
ok hab ich soweit verstanden aber welchen ansatz muss man dann machen wenn man da keine trigonometrische fkt hat?
was muss ich dann für ein ansatz wählen?
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Hallo Arvi-Aussm-Wald,
> jo hab mich vertippt sollte sin(3t) sein
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> ok hab ich soweit verstanden aber welchen ansatz muss man
> dann machen wenn man da keine trigonometrische fkt hat?
>
> was muss ich dann für ein ansatz wählen?
Der Ansatz wird entsprechend der Störfunktion gewählt.
Ist die Störfunktion ein Polynom, so wird auch als Ansatz ein Polynom gewählt ("normaler Ansatz").
Falls die Störfunktion eine Exponential- oder trigonometrische Funktion ist, gilt dasselbe. Bei der trigonometrischen Funktion hat sich schon Roadrunner hervorgetan.
Wenn die Störfunktion oder ein Glied von ihr zugleich Lösung der homogenen DGL (Resonanzfall) ist, dann führt die Variation der Konstanten zum Ziel. Dieser Weg ist oft mit erheblichem Rechenaufwand verbunden.
Im Fall, dass es zwei verschiedene Lösungen der charakteristischen Gleichung gibt, und daß der Resonanzfall vorliegt, so wird der "normale Ansatz" mit x multipliziert.
Im Fall, dass es zwei gleiche Lösungen der charakteristischen Gleichung gibt, und daß der Resonanzfall vorliegt, so wird der "normale Ansatz" mit [mm]x^{2}[/mm] multipliziert.
Gruß
MathePower
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hab zwar net alles verstanden aber erstmal danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Mo 25.02.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo Arvi,
Du kannst ja einmal einen Blick in: L. Papula, Mathematik für Ingenieure & Naturwissenschaftler, Bd. II, werfen. Steht bestimmt in jeder Uni-Bibliothek. Darin findet sich eine ausführliche und gut verständliche Einführung in gewöhnliche DGL.
LG, Martinius
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