DGL 2.Ordnung mit komplexen EW < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
In Folge einer Aufgabe muss ich die DGL
[mm]{\ddot{\phi}}+a\phi=c \textrm{ mit \textrm{}} \phi=\phi(t)[/mm]
lösen. Dabei sind a und c unabhängig von der Zeit und größer als 0.
Da meine Mathe Vorlesung schon etwas her ist, habe ich diverse Internetforen durchgearbeitet, bin aber leider nicht zu einem zufriedenstellenden Ergebnis gekommen.
Als Eigenwert ergibt sich
[mm]\lambda=\pm\wurzel{-a}=\pm i\wurzel{a}[/mm]
Da ich 2 komplexe Eigenwerte habe ergibt sich die homogene Lösung zu
[mm]\phi_{h}(t)=c_{1}cos(t\wurzel{a)}+c_{2}sin(t\wurzel{a})[/mm] .
In wieweit das stimmt, kann ich nicht sagen, da ich den Ansatz im Internet gefunden habe und selber keinen Ansatz für komplexe Eigenwerte kenne.
Wenn ich die 2 Anfangsbedingungen <span class="math">[mm]\phi_{h}(t=0)=0\textrm{ und }\dot{\phi_{h}}(t=0)=0[/mm] einsetzte komme ich auf [mm] c_{1}=0 [/mm] und [mm] c_{2}=0, [/mm] was mich nicht wirklich zufrieden stellt.
Desweiteren weiss ich nicht, wie ich mit diesen sin/cos-Ansatz auf die partikuläre Lösung komme.
</span>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 Fr 04.01.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
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> Hallo!
> In Folge einer Aufgabe muss ich die DGL
> [mm]{\ddot{\phi}}+a\phi=c \textrm{ mit \textrm{}} \phi=\phi(t)[/mm]
> lösen. Dabei sind a und c unabhängig von der Zeit und
> größer als 0.
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> Da meine Mathe Vorlesung schon etwas her ist, habe ich
> diverse Internetforen durchgearbeitet, bin aber leider
> nicht zu einem zufriedenstellenden Ergebnis gekommen.
>
> Als Eigenwert ergibt sich
> [mm]\lambda=\pm\wurzel{-a}=\pm i\wurzel{a}[/mm]
> Da ich 2 komplexe
> Eigenwerte habe ergibt sich die homogene Lösung zu
> [mm]\phi_{h}(t)=c_{1}cos(t\wurzel{a)}+c_{2}sin(t\wurzel{a})[/mm] .
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> In wieweit das stimmt, kann ich nicht sagen, da ich den
> Ansatz im Internet gefunden habe und selber keinen Ansatz
> für komplexe Eigenwerte kenne.
Ob es stimmt kannst Du ja durch nachrechnen leicht überprüfen. Warum es stimmt kannst Du auch relativ leicht nachvollziehen, wenn Du die Eigenwerte zunächst so behandelst als wären sie reell. Setze sie also in die Exponentialfunktion ein. Wende dann die Eulersche Identität an und Du kommst auf das was da steht.
> Wenn ich die 2 Anfangsbedingungen <span
> class="math">[mm]\phi_{h}(t=0)=0\textrm{ und }\dot{\phi_{h}}(t=0)=0[/mm]
> einsetzte komme ich auf [mm]c_{1}=0[/mm] und [mm]c_{2}=0,[/mm] was mich nicht
> wirklich zufrieden stellt.
Bist Du sicher, dass die Anfangsbedingungen für die homogene Lösung sind und nicht für die komplette Lösung der DGL?
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> Desweiteren weiss ich nicht, wie ich mit diesen
> sin/cos-Ansatz auf die partikuläre Lösung komme.
Gar nicht. Bei der Partikulären Lösung muss man eine Funktion annehmen, die der Störfunktion entspricht. In dem Fall ist das allgemein ein Polynom - oder einfacher: eine Konstante. Nimm [mm] $f(t)=c_3$ [/mm] als Ansatz.
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Gruß,
notinX
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Hab es hinbekommen :D
Vielen Dank!
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