DGL 2 Ordnung Komplex < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Di 10.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | zu lösen durch den Komplexen einsatz
[mm]y'' +6y' +13\red{y} = 3sin(2x) [/mm]. |
Hallo zusammen,
irgendwie sitzt die komplexe Rechnung nicht richtig, habe bei dgl 1ster Ordnung Probleme gehabt nun ist dieses in der zweiter Ordnung das [mm] Problem^2:-(
[/mm]
Um die Rechnung gering zu halten will ich versuchen diesen Einsatz einzuschlagen :
[mm] $y_{p}=A*e^{jx}$ [/mm] und am Schluss den Imaginärteil dieser Antwort ziehen.
so gehe ich vor:
$y'' +6y' +13 = 3sin(2x)$
$g(x) = 3sin(2x) => [mm] y_{p}=A*e^{2jx}$
[/mm]
[mm] $y'_{p}=2Aj*e^{2jx}$
[/mm]
[mm] $y''_{p}=4Aj^2*e^{2jx} [/mm] = [mm] -4A*e^{2jx}$
[/mm]
nun setze es in die DGL ein:
[mm] $e^{2jx} [/mm] ( -4A + 12Aj +13A) = [mm] \red{3*e^{2jx} }$
[/mm]
$-4A + 12Aj +13A = 3 $
$9A + 12Aj =3$
$3A + 4Aj =1$
$A( 3+ 4j) =1 => A = [mm] \bruch{1}{ 3+ 4j } [/mm] $
nun muss man ja kunjugiert Komplex erweitern :
$A = [mm] \bruch{1}{ 3+ 4j} [/mm] * [mm] \bruch{3- 4j}{ 3- 4j} [/mm] = [mm] \bruch{3- 4j}{ 9- 16j^2} [/mm] = [mm] \bruch{3- 4j}{ 9 + 16} [/mm] = [mm] \bruch{3- 4j}{ 25}$
[/mm]
Da hier A bestimmt worden ist dieses in die Ausgangsgleichung einsetzen:
[mm] $y_{p}=A*e^{2jx}$
[/mm]
[mm] $y_{p}=\bruch{3- 4j}{ 25}*e^{2jx}$
[/mm]
[mm] $y_{p}=\bruch{3- 4j}{ 25}*(cos(2x) [/mm] +j*sin(2x)) $
[mm] $y_{p}=\bruch{1}{ 25}*(3*cos(2x) [/mm] + 3j*sin(2x) - 4j*cos(2x) +4sin(2x) ) $
[mm] $y_{p}=\bruch{1}{ 25}*(3*cos(2x) [/mm] +4sin(2x) + [mm] \red{j}*(3*sin(2x) [/mm] - 4*cos(2x) ) $
hier war die Störfunktion $g(x)=3*sin(2x)$ also muss ich den Imaginärteil ziehen (wegen sinus).
$Im[ [mm] \bruch{1}{ 25}*(3*cos(2x) [/mm] +4sin(2x) + j*(3*sin(2x) - 4*cos(2x) ) ] = [mm] \bruch{1}{ 25}*(3*sin(2x) [/mm] - 4*cos(2x) )]$
somit wäre die Lösung : [mm] $y_{p}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{ 25}*(3*sin(2x) [/mm] - 4*cos(2x) )$
haut das bis hin ?
Und wie rechnet man den Homogenen Anteil dieser DGL komplex?
Danke im Voraus
mfg
masa
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Di 10.06.2008 | | Autor: | fred97 |
In der Aufgabenstellung steht die Dgl.
$ y'' +6y' +13 = 3sin(2x) $.
Deine Rechnung bezieht sich aber auf die Dgl.
$ y'' +6y' +13y = 3sin(2x) $.
Welche Dgl. betrachtest Du nun ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Di 10.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
Ich glaube das geht gar nicht :-(
Komplexe Rechnung wird ja nur angesetzt wenn die g(x) eine Trigonometrische Funktion aufweist....
und wenn g(x) = 0 ist muss man sich anders behelfen als komplex ....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Di 10.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
siehe unten
muss wohl auf matux warten :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Di 10.06.2008 | | Autor: | Seroga |
Super. Alles richtig gerechnet.
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(joke)
