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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 So 13.12.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Gegeben ist [mm] y''(t)+\omega_{0}^{2}y(t)=E\m{sin}(\omega [/mm] t).
(i) Ermitteln Sie die Lösung, wenn [mm] \omega\neq \omega_{0}.
[/mm]
(ii) Ermitteln Sie die Lösung, wenn [mm] \omega=\omega_{0}. [/mm] |
Hallo,
ich hab schon etwas rumgerechnet.
Zum ersten Teil folgendes:
Die Lösung des homogenen Teils liefert mir:
[mm] y_{1}(t)=\mbox{sin}(\omega_{0}t) [/mm] und [mm] y_{2}(t)=\mbox{cos}(\omega_{0}t).
[/mm]
Dann kommt der etwas kompliziertere Teil der Lösung des inhomogenen Teils:
Variation der Konstanten liefert mir: [mm] C_{1}(t)&=&-\int\frac{\mbox{cos}(\omega_{0}t)E\mbox{sin}(\omega t)}{-\omega_{0}}dt\\&=&\frac{E}{\omega_{0}}\int\mbox{cos}(\omega_{0}t)\mbox{sin}(\omega [/mm] t)dt und [mm] C_{2}(t)&=&\int\frac{\mbox{sin}(\omega_{0}t)E\mbox{sin}(\omega t)}{-\omega_{0}}dt\\&=&-\frac{E}{\omega_{0}}\int\mbox{sin}(\omega_{0}t)\mbox{sin}(\omega [/mm] t)dt.
Stimmts so weit? Sollte ich die integrale noch irgendwie ausrechnen?
Im zweiten Teil läuft es auf das gleiche hinaus, nur dass sich die Lösung des speziellen Teils etwas vereinfacht, da [mm] \omega=\omega_0.
[/mm]
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Ja, so habe ich es auch, du solltest es allerdings noch integrieren. Geht am besten, wenn man die Additionstheoreme verwendet.
[mm] cos(\omega_{0}*t)*sin(\omega*t)=\bruch{1}{2}*(sin(\omega*t+\omega_{0}*t)+sin(\omega*t-\omega_{0}*t)
[/mm]
[mm] sin(\omega*t)*sin(\omega_{0}*t)=\bruch{1}{2}*(cos(\omega*t-\omega{0}*t)-cos(\omega*t+\omega_{0}*t)
[/mm]
Beim zweiten Teil ist es im Prinzip einfacher, allerdings find ich die Integration da schon etwas schwerer.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 So 13.12.2009 | | Autor: | Unk |
Ok das mit dem Integrieren akzeptiere ich, aber trotzdem steht dann am Ende bei mir ein ziemlich langer Term als Gesamtlösung, oder habe ich was übersehen und es kürzt sich so gut wie alles weg?
Man bekommt dann für [mm] C_{1}(t)=&-\frac{1}{2}\frac{E}{\omega_{0}}\cdot\left[\frac{\mbox{cos}((\omega+\omega_{0})t)}{\omega+\omega_{0}}+\frac{\mbox{cos}((\omega-\omega_{0})t)}{\omega-\omega_{0}}\right] [/mm] und
[mm] C_{2}(t)=-\frac{1}{2}\frac{E}{\omega_{0}}\left[\frac{\mbox{sin}((\omega-\omega_{0})t)}{\omega-\omega_{0}}-\frac{\mbox{sin}((\omega+\omega_{0})t)}{\omega+\omega_{0}}\right].
[/mm]
Gibts da noch eine extreme Vereinfachung?
Mal abgesehen davon, dass ich langsam keine Lust mehr hab daran rumzurechnen...
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Man könnte das alles (die allgemeine Lösung) auf den gleichen Nenner bringen, nämlich auf [mm] \omega^{2}-\omega_{0}^{2} [/mm] aber wirklich kürzer wird es dadurch nicht. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, stünde dann
[mm] -sin(\omega*t)*E+(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})*C_{2}*cos(\omega_{0}*t)+(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})*C_{1}*sin(\omega_{0}*t) [/mm] im Zähler.
Vergleichsweise ist das doch recht kurz...
Besonders wenn ich daran denke, was mir das CAS als Lösung ausgespuckt hat.
Ich schreibs aber auch nicht vereinfacht auf, dann muss man ja noch die ganzen Umformungen legitimieren.
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